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http://functions.wolfram.com/06.38.21.0066.01
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Integrate[z^n SinIntegral[b z] CosIntegral[a z], z] ==
((I (I b)^(-1 - n))/(2 (1 + n))) ((-1)^n Gamma[1 + n, (-I) b z] +
Gamma[1 + n, I b z]) CosIntegral[a z] +
((z^(1 + n) SinIntegral[b z])/(1 + n)) CosIntegral[a z] +
((I (I a)^(-1 - n) n!)/(4 (n + 1)))
((-1)^n ExpIntegralEi[(-I) (-a + b) z] + ExpIntegralEi[I (-a + b) z] -
ExpIntegralEi[(-I) (a + b) z] - ExpIntegralEi[I (a + b) z]/(-1)^n +
((2 I)/n!) ((-1)^n Gamma[1 + n, (-I) a z] - Gamma[1 + n, I a z])
SinIntegral[b z] +
Sum[((a/(a + b))^m Sum[((I b + I a)^k z^k)/k!, {k, 0, -1 + m}])/m,
{m, 1, n}]/E^(I (a + b) z) - E^(I (-a + b) z)
Sum[((a/(a - b))^m Sum[(((-I) b + I a)^k z^k)/k!, {k, 0, -1 + m}])/m,
{m, 1, n}] - ((-1)^n Sum[((a/(a - b))^m Sum[((I b - I a)^k z^k)/k!,
{k, 0, -1 + m}])/m, {m, 1, n}])/E^(I (-a + b) z) +
(-1)^n E^(I (a + b) z) Sum[((a/(a + b))^m Sum[(((-I) b - I a)^k z^k)/k!,
{k, 0, -1 + m}])/m, {m, 1, n}]) -
((I (I b)^(-1 - n) n!)/(4 (1 + n)))
((-1)^n (ExpIntegralEi[(-I) a z + I b z] + ExpIntegralEi[
I a z + I b z]) + ExpIntegralEi[(-I) a z - I b z] +
ExpIntegralEi[I a z - I b z]) - ((I (I b)^(-1 - n) n!)/(2 (1 + n)))
((-1)^n Sum[(b^k/(2 k!)) ((-(b - a)^(-k)) Gamma[k, I (a - b) z] -
Gamma[k, (-I) (a + b) z]/(a + b)^k), {k, 1, n}] +
Sum[(b^k/(2 k!)) ((-(a + b)^(-k)) Gamma[k, I (a + b) z] -
Gamma[k, I (b - a) z]/(b - a)^k), {k, 1, n}]) /;
Element[n, Integers] && n >= 0
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