Imaginary error function: Integration (formula 06.28.21.0086)

Erfi

$Mathematica Notation$

Gamma, Beta, Erf

Erfi[z]

Integration

Indefinite integration

Involving one direct function and elementary functions

Involving hyperbolic functions and a power function

Involving cosh and power

http://functions.wolfram.com/06.28.21.0086.01

Input Form

Integrate[z^n Cosh[b z] Erfi[a z], z] == ((-1)^n/(b^(2 n) (2 b Sqrt[Pi]))) Exp[-(b^2/(4 a^2))] ((-E^(b^2/(4 a^2))) Sqrt[Pi] Erfi[a z] (-b)^n (Gamma[1 + n, b z] - (-1)^n Gamma[1 + n, (-b) z]) + a b^n n! Sum[((-b)^m/m!) (a^2)^((1/2) (-1 - m)) Sum[Binomial[m, k] (-(b/(2 Sqrt[a^2])))^(m - k) (Sqrt[a^2] z + b/(2 Sqrt[a^2]))^(1 + k) (-(Sqrt[a^2] z + b/(2 Sqrt[a^2]))^2)^((1/2) (-1 - k)) Gamma[(1 + k)/2, -(Sqrt[a^2] z + b/(2 Sqrt[a^2]))^2], {k, 0, m}], {m, 0, n}] - a (-b)^n n! Sum[(b^m/m!) (a^2)^((1/2) (-1 - m)) Sum[Binomial[m, k] (b/(2 Sqrt[a^2]))^(m - k) (Sqrt[a^2] z - b/(2 Sqrt[a^2]))^(1 + k) (-(Sqrt[a^2] z - b/(2 Sqrt[a^2]))^2)^((1/2) (-1 - k)) Gamma[(1 + k)/2, -(Sqrt[a^2] z - b/(2 Sqrt[a^2]))^2], {k, 0, m}], {m, 0, n}]) /; Element[n, Integers] && n >= 0

Standard Form

Cell[BoxData[RowBox[List[RowBox[List[RowBox[List["\[Integral]", RowBox[List[SuperscriptBox["z", "n"], " ", RowBox[List["Cosh", "[", RowBox[List["b", " ", "z"]], "]"]], RowBox[List["Erfi", "[", RowBox[List["a", " ", "z"]], "]"]], RowBox[List["\[DifferentialD]", "z"]]]]]], "\[Equal]", RowBox[List[FractionBox[RowBox[List[SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", "1"]], ")"]], "n"], SuperscriptBox["b", RowBox[List[RowBox[List["-", "2"]], "n"]]]]], RowBox[List["2", " ", "b", " ", SqrtBox["\[Pi]"]]]], RowBox[List["Exp", "[", RowBox[List["-", FractionBox[SuperscriptBox["b", "2"], RowBox[List["4", " ", SuperscriptBox["a", "2"]]]]]], "]"]], RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[RowBox[List["-", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", FractionBox[SuperscriptBox["b", "2"], RowBox[List["4", " ", SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], " ", SqrtBox["\[Pi]"], " ", RowBox[List["Erfi", "[", RowBox[List["a", " ", "z"]], "]"]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", "b"]], ")"]], "n"], " ", RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List["Gamma", "[", RowBox[List[RowBox[List["1", "+", "n"]], ",", RowBox[List["b", " ", "z"]]]], "]"]], "-", RowBox[List[SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", "1"]], ")"]], "n"], " ", RowBox[List["Gamma", "[", RowBox[List[RowBox[List["1", "+", "n"]], ",", RowBox[List[RowBox[List["-", "b"]], " ", "z"]]]], "]"]]]]]], ")"]]]], "+", RowBox[List["a", " ", SuperscriptBox["b", "n"], " ", RowBox[List["n", "!"]], " ", RowBox[List[UnderoverscriptBox["\[Sum]", RowBox[List["m", "=", "0"]], "n"], RowBox[List[FractionBox[SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", "b"]], ")"]], "m"], RowBox[List["m", "!"]]], SuperscriptBox[RowBox[List["(", SuperscriptBox["a", "2"], ")"]], RowBox[List[FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List["-", "1"]], "-", "m"]], ")"]]]]], " ", RowBox[List[UnderoverscriptBox["\[Sum]", RowBox[List["k", "=", "0"]], "m"], RowBox[List[RowBox[List["Binomial", "[", RowBox[List["m", ",", "k"]], "]"]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", FractionBox["b", RowBox[List["2", " ", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], RowBox[List["m", "-", "k"]]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]], " ", "z"]], "+", FractionBox["b", RowBox[List["2", " ", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], RowBox[List["1", "+", "k"]]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]], " ", "z"]], "+", FractionBox["b", RowBox[List["2", " ", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], "2"]]], ")"]], RowBox[List[FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List["-", "1"]], "-", "k"]], ")"]]]]], " ", RowBox[List["Gamma", "[", RowBox[List[FractionBox[RowBox[List["1", "+", "k"]], "2"], ",", RowBox[List["-", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]], " ", "z"]], "+", FractionBox["b", RowBox[List["2", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], "2"]]]]], "]"]]]]]]]]]]]], "-", RowBox[List["a", " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", "b"]], ")"]], "n"], " ", RowBox[List["n", "!"]], " ", RowBox[List[UnderoverscriptBox["\[Sum]", RowBox[List["m", "=", "0"]], "n"], RowBox[List[FractionBox[SuperscriptBox["b", "m"], RowBox[List["m", "!"]]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", SuperscriptBox["a", "2"], ")"]], RowBox[List[FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List["-", "1"]], "-", "m"]], ")"]]]]], " ", RowBox[List[UnderoverscriptBox["\[Sum]", RowBox[List["k", "=", "0"]], "m"], RowBox[List[RowBox[List["Binomial", "[", RowBox[List["m", ",", "k"]], "]"]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", FractionBox["b", RowBox[List["2", " ", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]], ")"]], RowBox[List["m", "-", "k"]]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]], " ", "z"]], "-", FractionBox["b", RowBox[List["2", " ", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], RowBox[List["1", "+", "k"]]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List["-", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]], " ", "z"]], "-", FractionBox["b", RowBox[List["2", " ", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], "2"]]], ")"]], RowBox[List[FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List["-", "1"]], "-", "k"]], ")"]]]]], " ", RowBox[List["Gamma", "[", RowBox[List[FractionBox[RowBox[List["1", "+", "k"]], "2"], ",", RowBox[List["-", SuperscriptBox[RowBox[List["(", RowBox[List[RowBox[List[SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]], " ", "z"]], "-", FractionBox["b", RowBox[List["2", SqrtBox[SuperscriptBox["a", "2"]]]]]]], ")"]], "2"]]]]], "]"]]]]]]]]]]]]]], ")"]]]]]], "/;", RowBox[List[RowBox[List["n", "\[Element]", "Integers"]], "\[And]", RowBox[List["n", "\[GreaterEqual]", "0"]]]]]]]]

MathML Form

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2001-10-29