Digamma function: Summation (formula 06.14.23.0003)

PolyGamma

$Mathematica Notation$

http://functions.wolfram.com/06.14.23.0003.01

Input Form

Sum[((Pochhammer[-m, i] Product[Pochhammer[Subscript[a, k], i], {k, 1, p}])/ (i! Pochhammer[n + 1, i] Product[Pochhammer[Subscript[b, k], i], {k, 1, q}])) (Sum[PolyGamma[1 - Subscript[b, k] - i], {k, 1, m1}] - Sum[PolyGamma[Subscript[a, k] + i], {k, 1, n1}] - Sum[PolyGamma[1 - Subscript[a, k] - i], {k, n1 + 1, p}] + Sum[PolyGamma[Subscript[b, k] + i], {k, m1 + 1, q}] + PolyGamma[n + i + 1] + PolyGamma[i + 1] - PolyGamma[m + 1 - i]) z^i, {i, 0, m}] == (((-1)^n n! m! Product[Gamma[1 - Subscript[a, k]], {k, n1 + 1, p}] Product[Gamma[Subscript[b, k]], {k, m1 + 1, q}])/ (Product[Gamma[1 - Subscript[b, k]], {k, 1, m1}] Product[Gamma[Subscript[a, k]], {k, 1, n1}])) MeijerG[{{1 - Subscript[a, 1], \[Ellipsis], 1 - Subscript[a, n1]}, {m + 1, 1 - Subscript[a, n1 + 1], \[Ellipsis], 1 - Subscript[a, p]}}, {{0, -n, 1 - Subscript[b, 1], \[Ellipsis], 1 - Subscript[b, m1]}, {1 - Subscript[b, m1 + 1], \[Ellipsis], 1 - Subscript[b, q]}}, (-1)^(p - n1 - m1 + 1) z] - (((n! m! Product[Gamma[1 - Subscript[a, k]], {k, n1 + 1, p}] Product[Gamma[Subscript[b, k]], {k, m1 + 1, q}])/ (Product[Gamma[1 - Subscript[b, k]], {k, 1, m1}] Product[Gamma[Subscript[a, k]], {k, 1, n1}])) (Sum[Gamma[-1 + Subscript[b, i]] Gamma[-n - 1 + Subscript[b, i]] ((Product[Gamma[Subscript[b, i] - Subscript[b, k]], {k, 1, i - 1}] Product[Gamma[Subscript[b, i] - Subscript[b, k]], {k, i + 1, m1}] Product[Gamma[1 + Subscript[a, k] - Subscript[b, i]], {k, 1, n1}])/ (Gamma[m + Subscript[b, i]] Product[Gamma[Subscript[b, i] - Subscript[a, k]], {k, n1 + 1, p}] Product[ Gamma[1 + Subscript[b, k] - Subscript[b, i]], {k, m1 + 1, q}])) ((-1)^(p - n1 - m1 + 1) z)^(1 + n - Subscript[b, i]) HypergeometricPFQ[{1, 1 - m - Subscript[b, i], 1 + Subscript[a, 1] - Subscript[b, i], \[Ellipsis], 1 + Subscript[a, p] - Subscript[b, i]}, {2 + n - Subscript[b, i], 2 - Subscript[b, i], 1 + Subscript[b, 1] - Subscript[b, i], \[Ellipsis], 1 + Subscript[b, q] - Subscript[b, i]}, z], {i, 1, m1}] + Sum[(((n - j - 1)! Product[Gamma[1 + n - Subscript[b, k] - j], {k, 1, m1}] Product[Gamma[-n + Subscript[a, k] + j], {k, 1, n1}])/ ((n + m - j)! Product[Gamma[1 + n - Subscript[a, k] - j], {k, n1 + 1, p}] Product[Gamma[-n + Subscript[b, k] + j], {k, m1 + 1, q}])) (((-1)^(p - n1 - m1) z)^j/j!), {j, 0, n - 1}] + ((Product[Gamma[-Subscript[b, k] - m], {k, 1, m1}] Product[Gamma[1 + Subscript[a, k] + m], {k, 1, n1}])/ (Product[Gamma[-Subscript[a, k] - m], {k, n1 + 1, p}] Product[Gamma[1 + Subscript[b, k] + m], {k, m1 + 1, q}])) (((-1)^n ((-1)^(p - n1 - m1 - 1) z)^(n + m + 1))/ ((n + m + 1)! (m + 1)!)) HypergeometricPFQ[ {1, 1, 1 + m + Subscript[a, 1], \[Ellipsis], 1 + m + Subscript[a, p]}, {2 + n + m, 2 + m, 1 + m + Subscript[b, 1], \[Ellipsis], 1 + m + Subscript[b, q]}, z]))/ ((-1)^(p - n1 - m1) z)^n + Log[(-1)^(p - n1 - m1 - 1) z] HypergeometricPFQ[{-m, Subscript[a, 1], \[Ellipsis], Subscript[a, p]}, {n + 1, Subscript[b, 1], \[Ellipsis], Subscript[b, q]}, z] /; Element[n, Integers] && n >= 0 && Element[m, Integers] && m >= 0 && ForAll[{j, k}, Element[{j, k}, Integers] && j != k && 1 <= j <= m1 && 1 <= k <= m1, !Element[Subscript[b, j] - Subscript[b, k], Integers]]

Standard Form

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MathML Form

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2007-05-02

PolyGamma[nu,z]