Hypergeometric3F2

Notations

Traditional name

Traditional notation

Mathematica StandardForm notation

Primary definition

Specific values

Values at z==0

Values at z==1

For fixed (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2])

For fixed (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 1])

For fixed (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])

For fixed (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[b, 1])

For fixed (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 1])

For fixed (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2])

For fixed (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])

For fixed (Subscript[a, 2]), (Subscript[b, 1])

For fixed (Subscript[a, 2]), (Subscript[b, 2])

For fixed (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 1])

For fixed (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 2])

For fixed (Subscript[a, 1])

For fixed (Subscript[a, 2])

For fixed (Subscript[a, 3])

For fixed (Subscript[b, 1])

For fixed (Subscript[b, 2])

For fixed z and integer parameters

Values at z==-1

For fixed (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 3])

For fixed (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])

For fixed (Subscript[a, 1])

For fixed (Subscript[a, 2])

For fixed (Subscript[a, 3])

For fixed z and integer parameters

Values at z=-(1/8)

For fixed (Subscript[a, 1])

Values at z=(3/4)

For fixed (Subscript[a, 2])

Values at z=(4/3)

For fixed (Subscript[a, 2])

Specialized values

For fixed (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[b, 1]),z

For fixed (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[b, 2]),z

For fixed (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),z

For fixed (Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[b, 2]),z

For fixed (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),z

For fixed (Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 1]),z

For fixed (Subscript[a, 1]),z

For fixed (Subscript[a, 2]),z

For fixed z and with symbolical integers in parameters

For integer and half-integer parameters and fixed z

For some numeric parameters and fixed z

For fixed z and (Subscript[a, 1])=1, (Subscript[a, 2])=((3+i)/2), (Subscript[a, 3])=((3-i)/2)

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(1/8), (Subscript[a, 2])=(m/8), (Subscript[a, 3])=1

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(1/6), (Subscript[a, 2])=(m/3), (Subscript[a, 3])=1

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(1/4), (Subscript[a, 2])=(m/4), (Subscript[a, 3])=1

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(1/3), (Subscript[a, 2])=(m/n), (Subscript[a, 3])=1

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(3/8), (Subscript[a, 2])=(m/8), (Subscript[a, 3])=1

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(1/2), (Subscript[a, 2])=1, (Subscript[a, 3])=1

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(2/3), (Subscript[a, 2])=1, (Subscript[a, 3])=(m/n)

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(3/4), (Subscript[a, 2])=1, (Subscript[a, 3])=(m/n)

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(5/6), (Subscript[a, 2])=1, (Subscript[a, 3])=(7/6)

For fixed z and (Subscript[a, 1])=(7/8), (Subscript[a, 2])=1, (Subscript[a, 3])=(9/8)

For fixed z and (Subscript[a, 1])=1, (Subscript[a, 2])=(5/4), (Subscript[a, 3])=(7/4)

Values at fixed points

Values at z==1

Values at z==-1

Values at z=(1/2)

Values at z=-(1/4)

Values at z=-(1/8)

Values at other z

General characteristics

Some abbreviations

Domain and analyticity

(Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) is an analytical function of (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]) and z which is defined in (ℂ^6).  If parameters (Subscript[a, k])include negative integers, the function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) degenerates to a polynomial in z.

Symmetries and periodicities

Mirror symmetry

Permutation symmetry

Periodicity

No periodicity

Poles and essential singularities

With respect to z

With respect to (Subscript[a, l])

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of  (Subscript[a, l]),1≤l≤3, has only one singular point at (Subscript[a, l])= (OverTilde[∞]).  It is an essential singular point.

With respect to (Subscript[b, j])

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of (Subscript[b, 2]) has an infinite set of singular points:
a) (Subscript[b, 2])==- k/;k∈ℕ, are the simple poles with residues (((((-1))^k) )/(k!))(Subscript[, 3])(Subscript[(OverTilde[F]), 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),-k;z);
b) (Subscript[b, 2])==(OverTilde[∞]) is the point of convergence of poles,  which is an essential singular point.

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of (Subscript[b, 1]) has an infinite set of singular points:
a) (Subscript[b, 1])==- k/;k∈ℕ, are the simple poles with residues ((((-1))^k)/(k!))(Subscript[, 3])(Subscript[(OverTilde[F]), 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);-k,(Subscript[b, 2]);z);
b) (Subscript[b, 1])==(OverTilde[∞]) is the point of convergence of poles,  which is an essential singular point.

Branch points

With respect to z

With respect to (Subscript[a, l])

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of  (Subscript[a, l]),1≤l≤3, does not have branch points.

With respect to (Subscript[b, j])

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of  (Subscript[b, j]),1≤j≤2, does not have branch points.

Branch cuts

With respect to z

With respect to (Subscript[a, l])

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of  (Subscript[a, l]),1≤l≤3, does not have branch cuts.

With respect to (Subscript[b, j])

The function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) as a function of  (Subscript[b, j]),1≤j≤2, does not have branch cuts.

Limit representations

Continued fraction representations

Differential equations

Ordinary linear differential equations and wronskians

For the direct function itself

Transformations

Products, sums, and powers of the direct function

Products of the direct function

Identities

Recurrence identities

Consecutive neighbors

Distant neighbors with respect to q

Functional identities

Relations between contiguous functions

Relations of special kind

Division on even and odd parts and generalization

General cases

For fixed (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 1]),z

Functional identities for z==1

Functional identities for z==-1

Differentiation

Low-order differentiation

With respect to (Subscript[a, 1])

With respect to (Subscript[a, 2])

With respect to (Subscript[a, 3])

With respect to (Subscript[b, 1])

With respect to (Subscript[b, 2])

With respect to element of parameters |||  With respect to element of parameters

With respect to z

Symbolic differentiation

With respect to (Subscript[a, 1])

With respect to (Subscript[a, 2])

With respect to (Subscript[a, 3])

With respect to (Subscript[b, 1])

With respect to (Subscript[b, 2])

With respect to element of parameters |||  With respect to element of parameters

With respect to z

Fractional integro-differentiation

With respect to z

Integration

Indefinite integration

Involving only one direct function

Involving one direct function and elementary functions

Definite integration

For the direct function itself

Involving the direct function

Integral transforms

Laplace transforms

Summation

Infinite summation

Operations

Limit operation

Representations through more general functions

Through hypergeometric functions

Involving HypergeometricPFQRegularized

Involving HypergeometricPFQ

Through Meijer G

Classical cases for the direct function itself

Classical cases involving algebraic functions

Classical cases involving unit step UnitStep

Generalized cases involving algebraic functions

Through other functions

Involving some hypergeometric-type functions

Theorems

The number of closed pathes from the origin

The number of closed paths from the origin of length 2n in a three–dimensional cubic lattice is (((4^n)(Subscript[(1/2), n]))/(n!))(Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((1/2),-n,-n;1,1;4).

Copyright