Multinomial

Notations

Traditional name

Traditional notation

Mathematica StandardForm notation

Primary definition

(n;(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])) is the number of ways of putting  n==(Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+… (Subscript[n, m]) different objects into m different boxes with (Subscript[n, k]) in the kth box, k==1,2,…,m.

Specific values

Specialized values

Values at fixed points

General characteristics

Domain and analyticity

((Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+…+(Subscript[n, m]);(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])) is an analytical function of (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2]), …, (Subscript[n, m]) which is defined over (ℂ^m).

Symmetries and periodicities

Mirror symmetry

Permutation symmetry

Periodicity

No periodicity

Poles and essential singularities

With respect to (Subscript[n, k])

By variable (Subscript[n, k]),1≤k≤m, (with fixed other variables) the function ((Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+…+(Subscript[n, m]);(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])) has an infinite set of singular points:
a)  (Subscript[n, k])==-(OverTilde[(Subscript[N, k])])-j/;j∈(SuperPlus[ℕ]), are the simple poles with residues ((((-1))^(j-1))/(Γ(1-j-(OverTilde[(Subscript[N, k])])) (∏_(r=1)^(k-1))Γ((Subscript[n, r])+1) (∏_(r=k+1)^m)Γ((Subscript[n, r])+1) (j-1)!))/;(OverTilde[(Subscript[N, k])])==(∑_(r=1)^(k-1))(Subscript[n, r])+(∑_(r=k+1)^m)(Subscript[n, r])∧j∈(SuperPlus[ℕ]);
b) (Subscript[n, k])==(OverTilde[∞]) is the point of convergence of poles, which is an essential singular point.

Branch points

With respect to (Subscript[n, k])

The function ((Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+…+(Subscript[n, m]);(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])) does not have branch points.

Branch cuts

With respect to (Subscript[n, k])

The function ((Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+…+(Subscript[n, m]);(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])) does not have branch cuts.

Series representations

Asymptotic series expansions

Other series representations

Identities

Recurrence identities

Consecutive neighbors

Distant neighbors

Generalized Cauchy summation

Functional identities

Relations of special kind

Differentiation

Low-order differentiation

Symbolic differentiation

Summation

Finite summation

Representations through equivalent functions

With related functions

Theorems

The multinomial expansion

({{((((Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 2])+… +(Subscript[a, m])))^n)==, (∑_((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])=0)^n)(Subscript[δ, n, (Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+…+(Subscript[n, m])])(n;(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),… (Subscript[n, m]))(∏_(k=1)^m)(Subscript[a, k]^(Subscript[n, k])).}})

The derivative of product

((∂^n)/(∂(z^n)))(∏_(k=1)^m)(Subscript[f, k])(z)==(∑_((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])=0)^n)(Subscript[δ, n, (Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])+…+(Subscript[n, m])])(n;(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))(∏_(k=1)^m)((∂^(Subscript[n, k]))/(∂(z^(Subscript[n, k]))))(Subscript[f, k])(z)

The expected value of the number of real roots of a system of n sparse polynomial equations in n variables

The expected value of the number of real roots of a system of n sparse polynomial equations in n variables can be expressed in multinomials and the volume of the corresponding Newton polytopes.

Generalized multinomial theorem

(Subscript[A, n])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, m]),(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),…,(Subscript[p, m]))==(∑_(k=0)^n)(({{n}, {k}})) k! (k+x) (Subscript[A, n-k])((Subscript[x, 1])+k,(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, m]),(Subscript[p, 1])-1,(Subscript[p, 2]),…,(Subscript[p, m]))/;(Subscript[A, n])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, m]),(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),…,(Subscript[p, m]))==(∑_((Subscript[k, 1]),(Subscript[k, 2]),…,  (Subscript[k, m])=0)^n)(Subscript[δ, n, (Subscript[k, 1])+(Subscript[k, 2])+…+(Subscript[k, m])])((Subscript[k, 1])+(Subscript[k, 2])+…+(Subscript[k, m]);
(Subscript[k, 1]),(Subscript[k, 2]),…,(Subscript[k, m]))(∏_(j=1)^m)((((Subscript[x, j])+(Subscript[k, j])))^((Subscript[k, j])+(Subscript[p, j])))/;  n∈ℕ∧(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),…,(Subscript[p, m])∈ℤ

The volume of the d-dimensional region

The volume V of the d-dimensional region (∑_(k=1)^d)((|(Subscript[x, k])|)^(Subscript[p, k]))<1 is V=(2^d)/s((∑_(k=1)^d)(Subscript[p, k]^(-1));(Subscript[p, 1]^(-1)),(Subscript[p, 2]^(-1)),…,(Subscript[p, d]^(-1))).

History

– C. F. Hindenburg (1779)

Copyright