Notations

Numbers, variables, and functions

Domains and domain membership

ℕ

The set of natural numbers n: {n∈ℕ)⇔(n∈{0,1,2,…}).

(SuperPlus[ℕ])

The set of positive natural numbers n: {n∈(SuperPlus[ℕ]))⇔(n∈{1,2,…}).

ℤ

The set of integer numbers n: {n∈ℤ)⇔(n∈{0,±1,±2,…}).

ℚ

The set of rational numbers r: {r∈ℚ)⇔(r==(p/q)/; p∈ℤ,q∈(SuperPlus[ℕ])).

ℝ

The set of real numbers x: {x∈ℝ)⇔(x/;Im(x)==0).

ℂ

The set of complex numbers z: {z∈ℂ)⇔(z==a+i b/; a,b∈ℝ).

ℙ

The set of prime numbers p: {p∈ℙ)⇔(p∈{2,3,5,7,11,…}).

{ }

The empty set.

{(Subscript[a, m]),(Subscript[a, m+1]),…,(Subscript[a, n])}

The finite set of elements (Subscript[a, m]),(Subscript[a, m+1]),…,(Subscript[a, n])/;m≤n.

{listElement/;domainSpecification}

A sequence of elements listElement. Inside a list {…} the construction {listElement/;domainSpecification} is understood to splice all occurences of listElement into the list.

(𝔸^p)

The Cartesian product of p copies of sets 𝔸. (Tensor product of p sets 𝔸.)

𝔸⊗𝔹⊗…

The Cartesian product of the sets 𝔸, 𝔹, ….

{𝔸⊗𝔹⊗…}

The ordered set of sets 𝔸, 𝔹,….

Types of variables

As a rule, the following notation style is supported for all variables, numbers, and indices.

z,(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,w,(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),…

Generic complex variables.

x,(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,y,(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…, a, (Subscript[a, 1]),…

Generic real variables. (Relations of the form x>y,x<y,x≥y, and x≤y imply that x and y are real.)

m,(Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2]),…,n,(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,p,(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),…,q,(Subscript[q, 1]),(Subscript[q, 2]),…

Integer variables.

k,(Subscript[k, 1]),(Subscript[k, 2]),…,j,(Subscript[j, 1]),(Subscript[j, 2]),…

Dummy variables used in sums and products.

t,τ,s,υ

Integration dummy variables in definite integrals or integral transforms.

Set membership

a∈𝔸

The element a does belong to the set 𝔸.

a∉𝔸

The element a does not belong to the set 𝔸.

x∈(a,b)

The number x lies within the specified interval (a,b) (excluding a and b). It is True if the number x lies within the specified interval (a,b) (including its ends), and False otherwise.

z∈[a,b)

The number x lies within the specified interval (a,b) (including a and excluding b).

z∉(a,b)

The number z does not belong to the specified interval (a,b).

Types of functions

(f^((-1)))(z)

The inverse of the function f. The value of u for which the function f(u)==z: f((f^((-1)))(z))==z.

f(z)∈(C^n)(𝔸)

The function f(z) defined on the set 𝔸 is continuous and has all derivatives of orders k≤n.

(Subscript[χ, 𝔸])(a)

The characteristic function of a set 𝔸 has the value 1 when its argument a is an element of the specified set 𝔸, and the value 0 otherwise.

boole(cond)

Gives 1 if cond is true, and 0 if it is false.

boole(cond,expr)

Gives expr if cond is true, and 0 otherwise.

Logical operators and conditions

Logical operators

a∧b

Logical "a and b".

a∨b

Logical "a or b".

¬a

The logical negation of a.

∀

The universal quantor "for all".

∃

The existential quantor "exists".

Conditionals, equality and ordering operators

a/;b

Relation a holds under the condition b. (Returns a if condition b is satisfied.)

a==b

The expression a is mathematically identical to b. (Returns True if a and b are identical.)

a≠b

The expression a is mathematically different from b. (Returns True if a and b are different.)

x>y

The real number x is greater than the real number y. (Yields True if x is determined to be greater to y.)

x≥y

The real number x is greater than or equal to y. (Yields True if x is determined to be greater than or equal to y.)

x<y

The real number x is less than the real number y. (Yields True if x is determined to be less than y.)

x≤y

𝒩𝒯({(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p])})

The sequence of values {(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p])} leads to a nonterminating hypergeometric series.

Operations

Domain and range

z⟶f(z)∷𝔸⟶𝔹

The function f(z) is defined on domain 𝔸: z∈𝔸, and it acts from this domain to domain 𝔹: f(z)∈𝔹.

Branch cuts and points, singularities, and discontinuities

(Subscript[𝒜ℬ, z])(f(z))==boundary

The natural boundary of analyticity of the function f(z) with respect to z is the set boundary.

(Subscript[ℬ𝒞, z])(f(z),z) == branchCuts

(Subscript[ℬ𝒞, z])(f(z),z) represents the branch cuts branchCuts of the function f(z) with respect to z. Each branch cut is of the form {interval, direction} indicating a branch cut along interval and continuity of f(z) from the direction direction.

(Subscript[ℬ𝒫, z])(f(z))=={(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, n])}

Gives a list of lists of the branch points (Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, n]) (if present, including infinity) of the function f over the complex z-plane.

(Subscript[ℛ, z])(f(z),(Subscript[z, 0]))

The ramification index for function f(z) in the branch point z==(Subscript[z, 0]).

(Subscript[𝒮𝒾𝓃ℊ, z])(f(z))

The set of poles (with their orders) and essential singularities of f(z) with respect to z. (The order of essential singularity is ∞.)

(Subscript[𝒟𝒮, z])(f(z))

The list of the (parametrized) intervals where the function f(z) is discontinuous over the complex z-plane.

Asymptotics and series

f(z)∝g(z)/;(|z|->∞)

g(z) is the main term of asymptotic expansion of f(z) at (OverTilde[∞]) that reflects the property: (lim_(|z|->∞)) ((f(z))/(g(z)))==1.

f(z)∝g(z)+O((1/(z^n)))/;(|z|->∞)

Asymptotic relation that reflects the boundedness of (z^n)(f(z)-g(z)) near point (OverTilde[∞]).

f(z)∝g(z)+O((((z-a))^n))/;(z->a)

Asymptotic relation that reflects the boundedness of ((f(z)-g(z))/(((z-a))^n)) near point z==a.

(Subscript[𝒫, (Subscript[z, 0])]^([L,M]))(f(z),z)

The [L,M] Padé approximant of f(z) at z=(Subscript[z, 0]).

([(z^n)]f(z))

Coefficient of the (z^n) term in the series expansion around z=0 of the function f(z): f(z)==(∑_(n=0)^∞)([(z^n)]f(z))(z^n).

([(((z-a))^n)]f(z))

Coefficient of the (((z-a))^n) term in the series expansion around z=a of the function f(z): f(z)==(∑_(n=0)^∞)([(((z-a))^n)]f(z))(((z-a))^n).

([(Subscript[z, 1]^(Subscript[n, 1])) ,(Subscript[z, 2]^(Subscript[n, 2])),…,(Subscript[z, m]^(Subscript[n, m]))](f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m]))))

Coefficient of the  (Subscript[z, 1]^(Subscript[n, 1])) (Subscript[z, 2]^(Subscript[n, 2]))… (Subscript[z, m]^(Subscript[n, m])) term in the series expansion around ((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m]))=(0,0,…,0) of the function f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])): f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m]))==(∑_((Subscript[k, 1])=0)^∞)(∑_((Subscript[k, 2])=0)^∞)…(∑_((Subscript[k, m])=0)^∞)([(Subscript[z, 1]^(Subscript[n, 1])) ,(Subscript[z, 2]^(Subscript[n, 2])),…,(Subscript[z, m]^(Subscript[n, m]))](f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m]))))(Subscript[z, 1]^(Subscript[n, 1])) (Subscript[z, 2]^(Subscript[n, 2]))(Subscript[…z, m]^(Subscript[n, m])).

(Subscript[res, z])(f(z))(a)

The residue of f(z) at the point z==a that is equal to the coefficient of the (((z-a))^(-1)) term in the series expansion around z=a of the function f(z): (Subscript[res, z])(f(z))(a)==([(((z-a))^(-1))]f(z)).

(Subscript[res, (Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])])(f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])))((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[a, m]))

The residue of f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])) at the point (Subscript[z, 1])==(Subscript[a, 1]),(Subscript[z, 2])==(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[z, m])==(Subscript[a, m]) that is equal to the coefficient of the (∏_(j=1)^m)((((Subscript[z, j])-(Subscript[a, j])))^(-1)) term in the series expansion around (Subscript[z, 1])==(Subscript[a, 1]),(Subscript[z, 2])==(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[z, m])==(Subscript[a, m]) of the function f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])): (Subscript[res, (Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])])(f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m])))((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[a, m]))==([((((Subscript[z, 1])-(Subscript[a, 1])))^(-1)),((((Subscript[z, 2])-(Subscript[a, 2])))^(-1)),…,((((Subscript[z, m])-(Subscript[a, m])))^(-1))]f((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m]))).

ΓRes(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, 𝒜]);, (Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, ℬ]);}, {(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, 𝒞]);, (Subscript[d, 1]),…,(Subscript[d, 𝒟]);}})(Subscript[a, n]),n,m;z)

The residue of the function f(s)==((( (∏_(k=1)^𝒜)Γ((Subscript[a, k])+s))( (∏_(k=1)^ℬ)Γ((Subscript[b, k])-s)))/(( (∏_(k=1)^𝒞)Γ((Subscript[c, k])+s))( (∏_(k=1)^𝒟)Γ((Subscript[d, k])-s))))(z^(-s)) at the point s==-(Subscript[a, n])-m/;m∈ℕ, where this function has the pole of order n because (Subscript[a, j])-(Subscript[a, j-1])∈ℕ∧2≤j≤n: ΓRes(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, 𝒜]);, (Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, ℬ]);}, {(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, 𝒞]);, (Subscript[d, 1]),…,(Subscript[d, 𝒟]);}})(Subscript[a, n]),n,m;z)==(Subscript[res, s])(((( (∏_(k=1)^𝒜)Γ((Subscript[a, k])+s))( (∏_(k=1)^ℬ)Γ((Subscript[b, k])-s)))/(( (∏_(k=1)^𝒞)Γ((Subscript[c, k])+s))( (∏_(k=1)^𝒟)Γ((Subscript[d, k])-s))))(z^(-s)))(-(Subscript[a, n])-m)/;n∈ℕ∧m∈ℕ∧(Subscript[a, j])-(Subscript[a, j-1])∈ℕ∧2≤j≤n∧(Subscript[a, j])-(Subscript[a, 1])∉ℤ∧n+1≤j≤𝒜∧-(Subscript[b, j])-(Subscript[a, n ])∉ℕ∧1≤j≤ℬ∧-(Subscript[c, j])+(Subscript[a, n])+m∉ℕ∧1≤j≤𝒞∧-(Subscript[d, j])-(Subscript[a, n])-m∉ℕ∧1≤j≤𝒟.

(Subscript[ℰ, k]^((q)))({(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1])},{(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q])})

The main factor in the coefficient of the series representation of the function (Subscript[, q+1])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) through Gauss functions (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 2])+(Subscript[ψ, q])+k;z): (Subscript[, q+1])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z)==(1/((∏_(j=3)^(q+1))Γ((Subscript[a, j]))))(∑_(k=0)^∞)(Subscript[ℰ, k]^((q)))({(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1])},{(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q])})(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 2])+(Subscript[ψ, q])+k;z)/;(Subscript[ψ, q])==(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])-(∑_(j=1)^(q+1))(Subscript[a, j]).

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,1,h})

The part of the series representation of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) at the point z==1 that includes h terms of the series expansions of the regular and singular components: (Subscript[𝒜, (OverTilde[F])])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,1,h})==((Γ(-(Subscript[ψ, q])))/((∏_(k=1)^(q+1))Γ((Subscript[a, k]))))(((1-z))^(Subscript[ψ, q])) (∑_(k=0)^h)((Subscript[c, k,q])/(Subscript[((Subscript[ψ, q])+1), k]))(((1-z))^k)+(1/((∏_(k=1)^(q+1))Γ((Subscript[a, k]))))(∑_(k=0)^h)(Subscript[g, k])(0) (((1-z))^k)/;|z-1|<1∧(Subscript[ψ, q])==(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])-(∑_(j=1)^(q+1))(Subscript[a, j])∧Q(t)==(∏_(k=1)^q)(t+(Subscript[b, k])-1)∧R(t)==(∏_(k=1)^(q+1))(t+(Subscript[a, k]))∧(Δ^n) f(x)==(∑_(k=0)^n)(((-1))^(n-k)) (({{n}, {k}})) f(k+x)∧((Subscript[c, k,q])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0,q])==1∧(Subscript[c, k,1])==(((Subscript[((Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2])), k]))/(k!))∧(Subscript[c, 1,q])==-((((Δ^(q-2)) Q((Subscript[ψ, q])))/((q-2)!))-(((Δ^(q-1)) R((Subscript[ψ, q])-1))/((q-1)!))) (Subscript[c, 0,q])∧(Subscript[c, k,q])==-(1/k)((((-1))^q) R(k-q+(Subscript[ψ, q])) (Subscript[c, k-q,q])+(((-1))^q) (∑_(j=1)^(q-1))((((Δ^(j-1)) Q(k-q+(Subscript[ψ, q])+1))/((j-1)!))-(((Δ^j) R(k-q+(Subscript[ψ, q])))/(j!))) (Subscript[c, j+k-q,q]))∧(Subscript[ψ, q])∉ℤ∧(Subscript[g, k])(0)==(((((-1))^k) Γ(k+(Subscript[a, 1])) Γ(k+(Subscript[a, 2])) Γ((Subscript[ψ, q])-k))/(k!)) (∑_(j=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[ψ, q])-k), j]) (Subscript[ℰ, j]^((q)))({(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q+1])},{(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q])}))/(Γ(j+(Subscript[a, 1])+(Subscript[ψ, q])) Γ(j+(Subscript[a, 2])+(Subscript[ψ, q]))))∧Re((Subscript[ψ, q]))>h∧h∈ℕ.

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The asymptotic expansion of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of the asymptotic expansions of the regular and exponential type components:

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})+ (Subscript[δ, q,p+1])(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, p+1]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})+(θ(q-p)-(Subscript[δ, q,p+1])) (Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h}).

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,∞})

Infinite series or asymptotic representation of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) at the point z==a/;a∈{1,(OverTilde[∞])}: (ℬ)(lim_(h->∞)) (Subscript[𝒜, (OverTilde[F])])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,h}) where (ℬ)(lim_(h->∞)) means the limit of a convergent series or a Borel-regularized infinite sum.

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The nonexponential part of the asymptotic expansion (or series representation for p==q+1) of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of each series expansion:

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==-(1/((∏_(k=1)^p)Γ((Subscript[a, k]))))(∑_(j=1)^p)(∑_(k=0)^h)ΓRes(({{0;, 1-(Subscript[a, 1]),…,1-(Subscript[a, p]);}, {;, 1-(Subscript[b, 1]),…,1-(Subscript[b, q]);}})1-(Subscript[a, j]),1,k;-z)/;(Subscript[∀, {j,k},{j,k}∈ℤ∧j≠k∧1≤j≤p∧1≤k≤p])((Subscript[a, j])-(Subscript[a, k])∉ℤ)∧h∈ℕ..

In the cases where two or more (Subscript[a, j]) differ by integer values, the function (Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h}) is defined by continuity. After evaluation of the corresponding limit, the general formula includes powers of log(z) and the psi function (ψ^((k)))(w), and in such logarithmic cases the representations are very complicated.

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The exponential part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) (for q==p or q>p+1) at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of the series expansion:

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})== (( (((2 π))^((1-β)/2)))/((Sqrt[β]) (∏_(k=1)^p)Γ((Subscript[a, k]))))(z^χ)exp(β (z^(1/β))) (∑_(k=0)^h)(β^(-k)) (Subscript[c, k]) (z^(-(k/β)))/;β==q-p+1∧(Subscript[A, p])==(∑_(k=1)^p)(Subscript[a, k])∧(Subscript[B, q])==(∑_(k=1)^q)(Subscript[b, k])∧𝔄==(∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])∧𝔅==(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])∧χ==(1/β)(((β-1)/2)+(Subscript[A, p])-(Subscript[B, q]))∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==2 ((((β-11) (β-1))/(24 β))-𝔄+𝔅+(1/(2 β))((Subscript[A, p])-(Subscript[B, q])+β ((Subscript[A, p])+(Subscript[B, q]))-2) ((Subscript[A, p])-(Subscript[B, q])))∧(Subscript[c, k])==(1/(k β))((∑_(s=1)^q)(Subscript[T, q-s])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[U, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(t+β χ) (∏_(j=1)^q)(t+(χ+(Subscript[b, j])-1) β)∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^p)(t+β (χ+(Subscript[a, j])))∧h∈ℕ..

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, p+1]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The trigonometric type part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) (for q==p+1) at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of series expansion:

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, p+1]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==(1/(2 (Sqrt[π]) (∏_(k=1)^p)Γ((Subscript[a, k]))))(((-z))^χ)((e^(i (π χ+2 (Sqrt[-z])))) (∑_(k=0)^h)(((-i))^k) (2^(-k)) (Subscript[c, k]) (((-z))^(-(k/2)))+(e^(-i (π χ+2 (Sqrt[-z])))) (∑_(k=0)^h)(i^k) (2^(-k)) (Subscript[c, k]) (((-z))^(-(k/2))))/;(Subscript[A, p])==(∑_(k=1)^p)(Subscript[a, k])∧(Subscript[B, p+1])==(∑_(k=1)^(p+1))(Subscript[b, k])∧𝔄==(∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])∧𝔅==(∑_(s=2)^(p+1))(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])∧χ==(1/2) ((Subscript[A, p])-(Subscript[B, p+1])+(1/2))∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==2 (𝔅-𝔄+(1/4) (3 (Subscript[A, p])+(Subscript[B, p+1])-2) ((Subscript[A, p])-(Subscript[B, p+1]))-(3/16))∧(Subscript[c, k])==(1/(2 k))((∑_(s=1)^(p+1))(Subscript[T, p+1-s])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[U, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(t+2 χ) (∏_(j=1)^(p+1))(2 (χ+(Subscript[b, j])-1)+t)∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^p)(t+2 (χ+(Subscript[a, j])))∧h∈ℕ..

(Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((t)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),∞})

Infinite series or the asymptotic representation of the function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);z) at the point z==(OverTilde[∞]):(ℬ)(lim_(h->∞)) (Subscript[𝒜, (OverTilde[F])]^((t)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,h}) where (ℬ)(lim_(h->∞)) means the limit of a convergent series or a Borel-regularized infinite sum and t∈{power,exp,trig}.

(Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})

The nonexponential part of the asymptotic expansion (or series representation for p==q) of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) at the point z==0 that includes h terms of each series expansion. In particular,

(Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})==(∑_(j=1)^m)(∑_(k=0)^h)ΓRes(({{(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, 1-(Subscript[a, 1]),…,1-(Subscript[a, n]);}, {(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);, 1-(Subscript[b, m+1]),…,1-(Subscript[b, q]);}})(Subscript[b, j]),1,k;z)/;(Subscript[∀, {j,k},{j,k}∈ℤ∧j≠k∧1≤j≤n∧1≤k≤n])((Subscript[a, j])-(Subscript[a, k])∉ℤ)∧h∈ℕ.

In cases where two or more (Subscript[b, j])/;1≤j≤m differ by integer values, the function (Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h}) is defined by continuity. After evaluation of the corresponding limit, the general formula includes powers of log(z) and the psi function (ψ^((k)))(w). It is too complicated for presentation here. The following formulas include the most important ones for application cases where one, two, three, or four (Subscript[b, j])  all differ by an integer.

(Subscript[𝒜, G]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q+1]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})

The exponential part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[G, p,p+1]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q+1])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) for p==q+1 at the point z==0 that includes h terms of series expansion:

(Subscript[𝒜, G]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})== (π^(m+n-q-1)) exp (((((-1))^(q-m-n))/z))(∑_(r=1)^n)(((∏_(j=m+1)^q)sin(π ((Subscript[a, r])-(Subscript[b, j]))))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[j=1, j≠r]), n])sin(π ((Subscript[a, r])-(Subscript[a, j])))))(z^((Subscript[a, r])-1))(((((((-1))^(q-m-n))/z)))^(χ+(Subscript[a, r])-1))(∑_(k=0)^h) (Subscript[c, k]) (((-1))^((q-m-n)k)) (z^k)/;p-q==1∧(z->0)∧χ==(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])-(∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])+1∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==(1/2)((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)+ (∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])-(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])+(1/2)(((((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)-((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])))^2))∧(Subscript[c, k])==(1/k)((∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[T, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(q-1))(Subscript[U, q-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(∏_(j=1)^p)(t+χ+(Subscript[a, j])-1)∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^q)(t+χ+(Subscript[b, j]))∧h∈ℕ.

(Subscript[𝒜, G]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q+2]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})

The trigonometric part of the asymptotic expansion of function (Subscript[G, q+2,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q+2])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) for p==q+2 at the point z==0 that includes h terms of series expansion:

(Subscript[𝒜, G]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})==((π^(m+n-q-(3/2)))/2)  (∑_(r=1)^n)(((∏_(j=m+1)^q)sin(π ((Subscript[a, r])-(Subscript[b, j]))))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[j=1, j≠r]), n])sin(π ((Subscript[a, r])-(Subscript[a, j])))))(z^((Subscript[a, r])-1))(((((((-1))^(q-m-n-1))/z)))^(χ+(Subscript[a, r])-1))(exp(i (π (χ+(Subscript[a, r])-1)+2(Sqrt[((((-1))^(q-m-n-1))/z)]))) (∑_(k=0)^h)(((-i))^k) (2^(-k)) (Subscript[c, k]) (((((((-1))^(q-m-n-1))/z)))^(-(k/2)))+exp(-i (π (χ+(Subscript[a, r])-1)+2(Sqrt[((((-1))^(q-m-n-1))/z)]))) (∑_(k=0)^h)(i^k) (2^(-k)) (Subscript[c, k]) (((((((-1))^(q-m-n-1))/z)))^(-(k/2)))) /;p-q==2∧(z->0)∧χ==(1/2) ((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])-(∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])+(3/2))∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==(1/4) ((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)+(1/2) (((((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)-((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])))^2))+(∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])-(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])+(1/16)∧(Subscript[c, k])==(1/(2 k))((∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[T, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(q-1))(Subscript[U, q-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(∏_(j=1)^p)(t+2 (χ+(Subscript[a, j])-1))∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^q)(t+2 (χ+(Subscript[b, j])))∧h∈ℕ.

(Subscript[𝒜, G]^((hyp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})

The hyperbolic part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) for p≥q+3 at the point z==0 that includes h terms of series expansions:

(Subscript[𝒜, G]^((hyp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})==G(i)+G(-i)/;p-q≥3∧(z->0)∧β==p-q∧G(w)==(((((2 π))^((1-β)/2)) (π^(m+n-q-1)))/(Sqrt[β])) exp(β (e^((π w (q-m-n))/β)) ((((1/z)))^(1/β))) (z^(-χ)) (∑_(r=1)^n)(((∏_(j=m+1)^q)sin(π ((Subscript[a, r])-(Subscript[b, j]))))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[j=1, j≠r]), n])sin(π ((Subscript[a, r])-(Subscript[a, j])))))(e^(π w (q-m-n) (χ+(Subscript[a, r])-1)))(∑_(k=0)^h)(β^(-k)) (Subscript[c, k]) (e^(-((π w (q-m-n) k)/β)))(z^(k/β))∧χ==(1/β)(((1+β)/2)-(∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])+(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j]))∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==(1/(2β))((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)+ (∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])-(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])+(1/2)(((((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)-((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])))^2))+(((β^2)-1)/(24β))∧(Subscript[c, k])==(1/(k β))((∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[T, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(q-1))(Subscript[U, q-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(∏_(j=1)^p)(t+β (χ+(Subscript[a, j])-1))∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^q)(t+β (χ+(Subscript[b, j])))∧h∈ℕ

(Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The nonexponential part of the asymptotic expansion (or series representation for p==q) of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) at the point z==(OverTilde[∞]) which includes h terms of each series expansion. In particular,

(Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==-(∑_(j=1)^n)(∑_(k=0)^h)ΓRes(({{(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, 1-(Subscript[a, 1]),…,1-(Subscript[a, n]);}, {(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);, 1-(Subscript[b, m+1]),…,1-(Subscript[b, q]);}})1-(Subscript[a, j]),1,k;z)/;(Subscript[∀, {j,k},{j,k}∈ℤ∧j≠k∧1≤j≤n∧1≤k≤n])((Subscript[a, j])-(Subscript[a, k])∉ℤ)∧h∈ℕ.

In the cases where two or more (Subscript[a, j])/;1≤j≤n differ by integer values, the function (Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h}) is defined by continuity. After evaluation of the corresponding limit, the general formula includes powers of log(z) and the psi function (ψ^((k)))(w). It is too complicated for presentation here. The following formulas include the most important one for applications of cases when only two, three, or four (Subscript[a, j]) differ by integers.

(Subscript[𝒜, G]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, p+1]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The exponential part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[G, p,p+1]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, p+1])}})) for q==p+1 at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of series expansion:

(Subscript[𝒜, G]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})== (π^(m+n-p-1)) exp ((((-1))^(p-m-n)) z)(∑_(r=1)^m)(((∏_(j=n+1)^p)sin(π ((Subscript[a, j])-(Subscript[b, r]))))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[j=1, j≠r]), m])sin(π ((Subscript[b, j])-(Subscript[b, r])))))(z^(Subscript[b, r]))((((((-1))^(p-m-n)) z))^(χ-(Subscript[b, r])))(∑_(k=0)^h) (Subscript[c, k]) (e^(-π i (p-m-n) k))(z^(-k))/;q-p==1∧(|z|->∞)∧χ==(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])-(∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==(1/2)((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)- (∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])+(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])+(1/2)(((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])))^2)-((((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2))∧(Subscript[c, k])==(1/k)((∑_(s=1)^(q-1))(Subscript[T, q-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[U, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(∏_(j=1)^q)(t+χ-(Subscript[b, j]))∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^p)(t+χ-(Subscript[a, j])+1)∧h∈ℕ.

(Subscript[𝒜, G]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, p+2]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The trigonometric type part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[G, p,p+2]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, p+2])}})) for q==p+2 at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of series expansion:

(Subscript[𝒜, G]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==((π^(m+n-p-(3/2)))/2)  (∑_(r=1)^m)(((∏_(j=n+1)^p)sin(π ((Subscript[a, j])-(Subscript[b, r]))))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[j=1, j≠r]), m])sin(π ((Subscript[b, j])-(Subscript[b, r])))))(z^(Subscript[b, r])) ((((((-1))^(p-m-n-1)) z))^(χ-(Subscript[b, r])))(exp(i (π (χ-(Subscript[b, r]))+2 (Sqrt[(((-1))^(-m-n+p-1)) z]))) (∑_(k=0)^h)(((-i))^k) (2^(-k)) (Subscript[c, k]) ((((((-1))^(-m-n+p-1)) z))^(-(k/2)))+exp(-i (π (χ-(Subscript[b, r]))+2 (Sqrt[(((-1))^(-m-n+p-1)) z]))) (∑_(k=0)^h)(i^k) (2^(-k)) (Subscript[c, k]) ((((((-1))^(-m-n+p-1)) z))^(-(k/2)))) /;q-p==2∧(|z|->∞)∧χ==(1/2) ((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])-(∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(1/2))∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==(1/4) ((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)+(1/2) (((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])))^2)-((((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2))-(∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])+(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])+(1/16)∧(Subscript[c, k])==(1/(2 k))((∑_(s=1)^(q-1))(Subscript[T, q-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[U, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(∏_(j=1)^q)(t+2 (χ-(Subscript[b, j])))∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^p)(t+2 (χ-(Subscript[a, j])+1))∧h∈ℕ.

(Subscript[𝒜, G]^((hyp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})

The hyperbolic type part of the asymptotic expansion of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) for q≥p+3 at the point z==(OverTilde[∞]) that includes h terms of series expansions:

(Subscript[𝒜, G]^((hyp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==G(i)+G(-i)/;q-p≥3∧(|z|->∞)∧β==q-p∧G(w)==(((((2 π))^((1-β)/2)) (π^(m+n-p-1)))/(Sqrt[β])) exp(β (e^((π w (p-m-n))/β)) (z^(1/β))) (z^χ) (∑_(r=1)^m)(((∏_(j=n+1)^p)sin(π ((Subscript[a, j])-(Subscript[b, r]))))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[j=1, j≠r]), m])sin(π ((Subscript[b, j])-(Subscript[b, r])))))(e^(π w (p-m-n) (χ-(Subscript[b, r]))))(∑_(k=0)^h)(β^(-k)) (Subscript[c, k]) (e^(-((π w (p-m-n) k)/β)))(z^(-(k/β)))∧χ==(1/β)(((1-β)/2)-(∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])+(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j]))∧((Subscript[c, k])==0/;k<0)∧(Subscript[c, 0])==1∧(Subscript[c, 1])==(1/(2β))((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])-(∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2)- (∑_(s=2)^p)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[a, s]) (Subscript[a, j])+(∑_(s=2)^q)(∑_(j=1)^(s-1))(Subscript[b, s]) (Subscript[b, j])+(1/2)(((((∑_(j=1)^p)(Subscript[a, j])))^2)-((((∑_(j=1)^q)(Subscript[b, j])))^2))+(((β^2)-1)/(24β))∧(Subscript[c, k])==(1/(k β))((∑_(s=1)^(q-1))(Subscript[T, q-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s])-(∑_(s=1)^(p-1))(Subscript[U, p-s-1])(s-k) (Subscript[c, k-s]))∧(Subscript[T, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) T(k+r))/(r! (s-r)!))∧T(t)==(∏_(j=1)^q)(t+β (χ-(Subscript[b, j])))∧(Subscript[U, s])(k)==(∑_(r=0)^s)(((((-1))^(s-r)) U(k+r))/(r! (s-r)!))∧U(t)==(∏_(j=1)^p)(t+β (χ-(Subscript[a, j])+1))∧h∈ℕ

(Subscript[𝒜, G]^((t)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,∞})

Infinite series or the asymptotic representation of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) at the point z==a/;a∈{0,(OverTilde[∞])}: (^((ℬ)))(lim_(h->∞)) (Subscript[𝒜, G]^((t)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,h}), where (^((ℬ)))(lim_(h->∞)) means the limit of a convergent series or Borel-regularized infinite sums and t∈{power,exp,trig,hyp}.

(Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(((-1))^(m+n-q)),h})

The part of the series representation of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) at the point z==(((-1))^(m+n-q)) that includes h terms of the series expansions of the regular and singular components, and reflects asymptotic behavior at least in the circle |z|<1:

(Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(((-1))^(m+n-q)),h})==-((π^(m+n-q))/(sin((Subscript[ψ, q]) π))) (∑_(h=1)^m)(((∏_(k=n+1)^q)sin(((Subscript[a, k])-(Subscript[b, h])) π))/((Underoverscript[ ∏, (Underscript[k=1, k≠h]), m])sin(((Subscript[b, k])-(Subscript[b, h])) π)))(z^(Subscript[b, h]))((∑_(j=0)^h)(Subscript[b, j,q,h]) ((((((-1))^(q-m-n)) z-1))^j)+(((1-(((-1))^(q-m-n)) z))^(Subscript[ψ, q])) (∑_(j=0)^h)(((Subscript[c, j,q,h]) (((1-(((-1))^(q-m-n)) z))^j))/(Γ((Subscript[ψ, q])+j+1))))/;((Subscript[ψ, q])==-μ==(∑_(j=1)^q)((Subscript[a, j])-(Subscript[b, j]))-1/;p==q)∧Q(t)==(∏_(k=1)^q)(t-(Subscript[b, k]))∧R(t)==(∏_(k=1)^q)(t-(Subscript[a, k])+1)∧(Δ^n) f(x)==(∑_(k=0)^n)(((-1))^(n-k)) (({{n}, {k}})) f(k+x)∧(Subscript[c, 0,q,h])==1∧(Subscript[c, j,1,1])==0/;(j∈(SuperPlus[ℕ]))∧(Subscript[c, 1,2,h])==R((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 2]))∧2 (Subscript[c, 2,2,h])==R((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 2])+1) (Subscript[c, 1,2,h])∧…∧j (Subscript[c, j,2,h])==R(j+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 2])-1) (Subscript[c, j-1,2,h])∧(Subscript[c, 1,3,h])==ΔR((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3])-1)-Q((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3]))∧2 (Subscript[c, 2,3,h])==(ΔR((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3]))-Q((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3])+1)) (Subscript[c, 1,3,h])-R((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3]))∧…∧j (Subscript[c, j,3,h]) ==(ΔR(j+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3])-2)-Q(j+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3])-1)) (Subscript[c, j-1,3,h])-R(j+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, 3])-2) (Subscript[c, j-2,3,h])∧(Subscript[c, 1,q,h])==(((Δ^(q-2)) R((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])-q+2))/((q-2)!))-(((Δ^(q-3)) Q((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])-q+3))/((q-3)!))∧2 (Subscript[c, 2,q,h])==((((Δ^(q-2)) R((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])-q+3))/((q-2)!))-(((Δ^(q-3)) Q((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])-q+4))/((q-3)!))) (Subscript[c, 1,q,h])-((((Δ^(q-3)) R((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])-q+3))/((q-3)!))-(((Δ^(q-4)) Q((Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])-q+4))/((q-4)!)))∧…∧j (Subscript[c, j,q,h])==(((-1))^q) R(j-q+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])+1) (Subscript[c, j-q+1,q,h])+(∑_(k=1)^(q-2))(((-1))^(q-k)) ((((Δ^k) Q(j-q+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])+1))/(k!))-(((Δ^(k-1)) R(j-q+(Subscript[b, h])+(Subscript[ψ, q])+2))/((k-1)!))) (Subscript[c, j+k-q+1,q,h])∧((Subscript[b, j,1,1])==0/;j≥0)∧(Subscript[b, j,q,h])==(1/(2 π i))(∫_(γ-i ∞)^(γ+i ∞))((t^(-(Subscript[b, h])))/(((t-1))^(j+1)))Ξ({(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, q])},{(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, q])},h,t)dt/;0<γ<1∧(Subscript[ψ, q])∉ℤ∧|z|<1∧|1-(((-1))^(q-m-n)) z|<1∧h∈ℕ.

More detailed descriptions of (Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(((-1))^(m+n-q)),h})

(Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,h})

The asymptotic expansion of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) at the point z==a/;a∈{0,(OverTilde[∞])} that includes h terms of the asymptotic expansions of the regular and exponential components:

(Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})==(Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})+(Subscript[δ, p,q+1]) (Subscript[𝒜, G]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q+1]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})+(Subscript[δ, p,q+2]) (Subscript[𝒜, G]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, q+2]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h})+(1-(Subscript[δ, p,q+1])) (-(Subscript[δ, p,q+1])-(Subscript[δ, p,q+2])+θ(p-q-2)) (Subscript[𝒜, G]^((hyp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,0,h}).

(Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})==(Subscript[𝒜, G]^((power)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})+(Subscript[δ, q,p+1]) (Subscript[𝒜, G]^((exp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, p+1]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})+(Subscript[δ, q,p+2]) (Subscript[𝒜, G]^((trig)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, p+2]);}}){z,(OverTilde[∞]),h})+(1-(Subscript[δ, q,p+1])) (-(Subscript[δ, q,p+1])-(Subscript[δ, q,p+2])+θ(q-p-2)) (Subscript[𝒜, G]^((hyp)))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,(OverTilde[∞]),h}).

(Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,∞})

Infinite series or asymptotic representation of the function (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})) at the point z==a/;a∈{0,(((-1))^(m+n-q)),(OverTilde[∞])}: (^((ℬ)))(lim_(h->∞)) (Subscript[𝒜, G])(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]);, (Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p]);}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]);, (Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q]);}}){z,a,h}) where (^((ℬ)))(lim_(h->∞)) means the limit of a convergent series or a Borel-regularized infinite sum.

Summations

(∑_(k=m)^n)f(k)

Sum of terms f(m), f(m+1), …,f(n): (∑_(k=m)^n)f(k)==f(m)+ f(m+1)+ …+f(n)/;n≥m; (∑_(k=m)^n)f(k)==0/;n<m.

(∑_(Underscript[k=m, k≠l])^n)f(k)

Sum of terms f(m), f(m+1), …,f(n) excluding the term f(l).

(∑_(k=m)^∞)f(k)

Limit of the finite sum (infinite sum): (lim_(n->∞)) (∑_(k=m)^n)f(k).

(∑_({{k=m,}, {Δk=2}})^∞)f(k)

Limit of the finite sum (infinite sum): (lim_(n->∞)) (∑_(k=0)^n)f(m+2k).

(∑_(Subscript[ρ, k]))f((Subscript[ρ, k]))/;g((Subscript[ρ, k]))==0

Sum over all solutions of the equation g((Subscript[ρ, k]))==0.

(∑_(k∈𝕂))f(k)

Sum over the set  𝕂.

(∑_(d∣n))f(d)

Sum of f(d) over all divisors of n.

(∑_((Subscript[k, 1])=(Subscript[m, 1]))^(Subscript[n, 1]))(∑_((Subscript[k, 2])=(Subscript[m, 2]))^(Subscript[n, 2]))…(∑_((Subscript[k, l])=(Subscript[m, l]))^(Subscript[n, l]))f((Subscript[k, 1]),(Subscript[k, 2]),…,(Subscript[k, l]))

Multiple sum of function f((Subscript[k, 1]),(Subscript[k, 2]),…,(Subscript[k, l])) over the sets  ((Subscript[m, 1]),(Subscript[n, 1]))×((Subscript[m, 2]),(Subscript[n, 2]))×…×((Subscript[m, l]),(Subscript[n, l])).

(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)f(m,n)

Double sum of f(m,n) over all integers m,n except m==n==0.

Products

(∏_(k=m)^n)f(k)

Product of terms f(m), f(m+1), …,f(n): (∏_(k=m)^n)f(k)==f(m) f(m+1) …, f(n)/;n≥m, (∏_(k=m)^n)f(k)==1/;n<m.

(∏_(Underscript[k=m, k≠l])^n)f(k)

Product of f(m), f(m+1), …,f(n) excluding f(l).

(∏_(k=m)^∞)f(k)

Limit of finite product  (lim_(n->∞)) (∏_(k=m)^n)f(k).

(∏_(k∈𝕂))f(k)

Product over set 𝕂.

(∏_(d∣n))f(d)

Product of f(d) over all divisors of n.

(∏_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)f(m,n)

Double product of function f(m,n) by all integers m,n excluding the term f(0,0).

Differentiations

f'(z)

Derivative of a function f of argument z: f'(z)==(lim_(ϵ->0)) ((f(z+ϵ)-f(z))/ϵ).

f''(z)

Second derivative of a function f of argument z: f''(z)==(∂/(∂z))f'(z)==(lim_(ϵ->0)) ((f(z)-2 f(z+ϵ)+f(z+2 ϵ))/(ϵ^2)).

(f^((n)))(z)

The (n^th) derivative of a function f of argument z: Derivative[n][f](z)==(∂/(∂z))Derivative[n-1][f](z)==(lim_(ϵ->0)) (1/(ϵ^n))(∑_(k=0)^n)(((-1))^(n-k)) (({{n}, {k}})) f(z+k ϵ)/;n∈(SuperPlus[ℕ]).

(f^((0)))(z)==f(z)

The (0^th) derivative of a function f coincides with function f: Derivative[0][f](z)==f(z).

((∂f(z))/(∂z))

Partial derivative of f with respect to z: ((∂f(z))/(∂z))==(lim_(ϵ->0)) ((f(z+ϵ)-f(z))/ϵ).

(((∂^n)f(z))/(∂(z^n)))

The (n^th) partial derivative of f with respect to z: (((∂^n)f(z))/(∂(z^n)))==(∂/(∂z))(((∂^(n-1))f(z))/(∂(z^(n-1))))==(lim_(ϵ->0)) (1/(ϵ^n))(∑_(k=0)^n)(((-1))^(n-k)) (({{n}, {k}})) f(z+k ϵ)/;n∈(SuperPlus[ℕ]).

(f^(((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))))((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),…,(Subscript[z, m]))

The general form, representing a function obtained from f by differentiating (Subscript[n, 1]) times with respect to the first argument, (Subscript[n, 2]) times with respect to the second argument, and so on.

(Subscript[W, z])(f(z),g(z))

The Wronskian determinant including two functions and its derivatives: (Subscript[W, z])(f(z),g(z))==(({{f(z), g(z)}, {f'(z), g'(z)}}))==f(z)g'(z)-f'(z) g(z).

The Wronskian determinant for second order linear differential equation w''(z)+(Subscript[a, 1])(z)w'(z)+(Subscript[a, 2])(z)w(z)==F(z) can be evaluated by the Liouville formula W(z)==(Subscript[W, z])(f(z),g(z))==W((Subscript[z, 0])) exp(-(∫_(Subscript[z, 0])^z)(Subscript[a, 1])(t)dt). The system f(z),g(z) forms a fundamental (linearly independent) set of solutions for this differential equation in a neighborhood (Subscript[z, 0]) provided W does not vanish at that point.

(Subscript[W, z])((Subscript[f, 1])(z),(Subscript[f, 2])(z),…,(Subscript[f, n])(z))

The Wronskian determinant including n functions and its derivatives: (Subscript[W, z])((Subscript[f, 1])(z),(Subscript[f, 2])(z),…,(Subscript[f, n])(z))==|(({{(Subscript[f, 1])(z), (Subscript[f, 2])(z), …, (Subscript[f, n])(z)}, {(Subscript[f, 1]^′)(z), (Subscript[f, 2]^′)(z), …, (Subscript[f, n]^′)(z)}, {…, …, …, …}, {(Subscript[f, 1]^((n-1)))(z), (Subscript[f, 2]^((n-1)))(z), …, (Subscript[f, n]^((n-1)))(z)}}))|.

The Wronskian determinant for linear differential equations of the form Derivative[n][f](z) +(Subscript[a, 1])(z)Derivative[n-1][f](z) +(Subscript[a, 2])(z)Derivative[n-2][f](z) +…+(Subscript[a, n-1])(z)f'(z)+(Subscript[a, n])(z)f(z)==F(z) can be evaluated by the Liouville formula W(z)==(Subscript[W, z])((Subscript[f, 1])(z),(Subscript[f, 2])(z),…,(Subscript[f, n])(z))==W((Subscript[z, 0])) exp(-(∫_(Subscript[z, 0])^z)(Subscript[a, 1])(t)dt). The system (Subscript[f, 1])(z),(Subscript[f, 2])(z),…,(Subscript[f, n])(z) forms a fundamental (linearly independent) set of solutions for this differential equation in a neighborhood (Subscript[z, 0]) provided W does not vanish at that point.

Fractional integro-differentiations

(Subscript[ℱ𝒞, exp]^((α)))(z,a)

Fractional differentiation power constant:

(Subscript[ℱ𝒞, exp]^((α)))(z,a)==(z^(α-a))(((∂^α)/(∂(z^α)))(z^a))==(Piecewise[{{(((-1))^α) (Subscript[(-a), α]), -a∈(SuperPlus[ℕ])∧α∈ℤ∧a<α}, {(((((-1))^(a-1)) (log(z)+ψ(-a)-ψ(a-α+1)))/((-a-1)! Γ(a-α+1))), -a∈(SuperPlus[ℕ])}, {((Γ(a+1))/(Γ(a-α+1))), True}}]).

(Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z)==(Subscript[ℱ𝒞, exp]^((α-1)))(z,-1)

gives the logarithmic fractional differentiation constant of order α with respect to z: (Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z)==(Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z,0)==(Piecewise[{{(((-1))^(α-1)) (α-1)!, α∈(SuperPlus[ℕ])}, {((log(z)-ψ(1-α)-ℽ)/(Γ(1-α))), True}}]).

(Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z,a)

gives the logarithmic fractional differentiation constant of order α with respect to z: (Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z,a)==(Piecewise[{{(((-1))^(α-a-1)) Γ(a+1) (α-a-1)!, α-a∈(SuperPlus[ℕ])}, {(z^(α-a)) ((∂((Γ(a+1) (z^(a-α)))/(Γ(a-α+1))))/(∂a))==((Γ(a+1) (log(z)+ψ(a+1)-ψ(a-α+1) ))/(Γ(a-α+1))), True}}]).

(Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z,a,n)

gives the logarithmic fractional differentiation constant of order α with respect to z:  (Subscript[ℱ𝒞, log]^((α)))(z,a,n)==(z^(α-a))((∂^n)/(∂(a^n)))((z^(a-α))ℱ(Subscript[𝒞, exp]^((α)))(z,a))==(z^(α-a))((∂^n)/(∂(a^n)))(((∂^α)/(∂(z^α)))(z^a))/;n∈ℕ.

(((∂^α)f(z))/(∂(z^α)))==Derivative[α][f](z)

The (α^th) fractional integro-derivative of f with respect to z  (which provides the Riemann-Liouville-Hadamard fractional left-sided integro-differentiation beginning at  point 0):

The value (((∂^α)f(z))/(∂(z^α)))==Derivative[α][f](z) is defined for analytical functions in the following way.

Suppose that the function f(z) near point z==0 can be represented through the Laurent type series

In particular for n==0,a==0,(Subscript[c, k])==0/;k<0, this function is analytical near the point z==0. In this case the value Derivative[α][f](z)==(((∂^α)f(z))/(∂(z^α))) can be defined for arbitrary complex order α by the formula

In particular, for n==0

Such an approach allows the integro-derivative of fractional (generically complex) order α to be defined for all functions of the hypergeometric type, including the Meijer G function, because all such functions can be represented as finite sums of the above Laurent type series.

Integrations

(∫_L)f(t)dt

Contour integral of function f(t) by contour L.

For the bounded open contour L=L(a,b) with t ranging from a to b and arbitrary points (Subscript[t, k])∈L placed in order between a and b ((Subscript[t, 0])==a, (Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])==b). Thus the contour L is divided into subcontours L((Subscript[t, k-1]),(Subscript[t, k])). Then (∫_L)f(t)dt==(lim_(Δ->0)) ((∑_(k=1)^n)f((Subscript[τ, k])) |(Subscript[t, k])-(Subscript[t, k-1])|)/;(Subscript[τ, k])∈L((Subscript[t, k-1]),(Subscript[t, k]))∧Δ==max(|(Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 0])|,|(Subscript[t, 2])-(Subscript[t, 1])|,…,|(Subscript[t, n])-(Subscript[t, n-1])|)∧f(τ)∈(C^0)(L(a,b)).

For a closed contour L (such as the circle |t|==1), the above procedure can be applied where b on L is "near" a: (∫_L)f(t)dt==(lim_(b->a)) (∫_(L(a,b)))f(t)dt.

For an unbounded contour L with one finite end a, the above procedure can be applied where b on L is "near" (OverTilde[∞]): (∫_L)f(t)dt==(∫_(L(a,(OverTilde[∞]))))f(t)dt==(lim_(b->(OverTilde[∞]))) (∫_(L(a,b)))f(t)dt.

For an unbounded contour L with both ends infinite (such as the special contour ℒ used in the definition of the Meijer G function) define (∫_L)f(t)dt==(∫_(Subscript[L, 1]))f(t)dt-(∫_(Subscript[L, 2]))f(t)dt such as L is divided into semi-unbounded contours (Subscript[L, 1])and (Subscript[L, 2]) by some arbitrary finite point a∈L, such that the directions of L and (Subscript[L, 1]) coincide.

∫f(z)dz

Indefinite integral (antiderivative) of function f(z). Inverse operation to differentiation: (∂/(∂z))∫f(z)dz==f(z).

(∫_a^b)f(t)dt

Definite integral of the function f(t) over interval (a,b):
 (∫_a^b)f(t)dt==(lim_(Δ->0)) ((∑_(k=1)^n)f((Subscript[τ, k])) ((Subscript[t, k])-(Subscript[t, k-1])))/;a==(Subscript[t, 0])<(Subscript[t, 1])<…<(Subscript[t, n])==b∧(Subscript[t, k-1])<(Subscript[τ, k])<(Subscript[t, k])∧Δ==max((Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 0]),(Subscript[t, 2])-(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])-(Subscript[t, n-1]))∧f(τ)∈(C^0)((a,b)).

(∫_(Subscript[a, 1])^(Subscript[b, 1]))(∫_(Subscript[a, 2])^(Subscript[b, 2]))…(∫_(Subscript[a, n])^(Subscript[b, n]))f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),…,(Subscript[t, n]))d(Subscript[t, n])d(Subscript[t, n-1])…d(Subscript[t, 1])

Multiple definite integral of the function f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),…,(Subscript[t, n])) by the intervals  ((Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 1]))×((Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 2]))×…×((Subscript[a, n]),(Subscript[b, n])).

(Underscript[(Underscript[(∫_a^x)(∫_a^t)…(∫_a^t)f(t)dtdt…dt, ⏟]), n-times])==(∫_a^x)f(t)((((x-t))^(n-1))/((n-1)!))dt

The repeated (n-times) integral of function f(t) by interval (a,x).

𝒫(∫_a^b)((f(t))/(t-x))dt

Cauchy principal value of a singular integral: 𝒫(∫_a^b)((f(t))/(t-x))dt==(lim_(ϵ->0)) ((∫_a^(x-ϵ))((f(t))/(t-x))dt+(∫_(x+ϵ)^b)((f(t))/(t-x))dt)/;a<x<b

ℒ

The special contour ℒ, which is used in the definition of the Meijer G function and its numerous particular cases.

Integral transforms

(Subscript[ℱ, t])[f(t)](z)

Exponential Fourier integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℱ, t])[f(t)](z)==(1/(Sqrt[2 π]))(∫_(-∞)^∞)f(t) (e^(i t z))dt. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℱ, t])[f(t)](z) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℱ, t]^(-1))[f(t)](z)

Inverse exponential Fourier integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℱ, t]^(-1))[f(t)](z)==(1/(Sqrt[2 π]))(∫_(-∞)^∞)f(t) (e^(-i t z))dt==(Subscript[ℱ, t])[f(t)](-z). (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℱ, t]^(-1))[f(t)](z) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℱ, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])}])[f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]))]((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

Fourier double integral transform of the function f with respect to the variables (Subscript[t, 1]), (Subscript[t, 2]): (Subscript[ℱ, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])}])[f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]))]((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))==(1/(2 π))(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])) (e^(i ((Subscript[t, 1])(Subscript[z, 1])+(Subscript[t, 2])(Subscript[z, 2]))))d(Subscript[t, 1])d(Subscript[t, 2]). (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℱ, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])}])[f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]))]((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2])) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℱ𝒸, t])[f(t)](z)

Fourier cosine integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℱ𝒸, t])[f(t)](z)==(Sqrt[2/π]) (∫_0^∞)f(t) cos(t z)dt. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℱ𝒸, t])[f(t)](z) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℱ𝓈, t])[f(t)](z)

Fourier sine integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℱ𝓈, t])[f(t)](z)==(Sqrt[2/π]) (∫_0^∞)f(t) sin(t z)dt. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℱ𝓈, t])[f(t)](z) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℋ, t])[f(t)](x)

Hilbert transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℋ, t])[f(t)](x)==(1/π)𝒫(∫_(-∞)^∞)((f(t))/(t-x))dt/;x∈ℝ.

(Subscript[ℋ, ν;t])[f(t)](z)

Hankel integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℋ, ν;t])[f(t)](z)==(∫_0^∞)f(t) (Sqrt[t z]) (Subscript[J, ν])(t z)dt. (If this integral does not converge, the value  (Subscript[ℋ, ν;t])[f(t)](z) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℒ, t])[f(t)](z)

Laplace integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℒ, t])[f(t)](z)==(∫_0^∞)f(t) (e^(-t z))dt.

(Subscript[ℒ, t]^(-1))[f(t)](p)

Inverse Laplace integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℒ, γ;t]^(-1))[f(t)](p)==(1/(2 π i))(∫_(γ-i ∞)^(γ+i ∞))f(t) (e^(t p))dt. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℒ, t]^(-1))[f(t)](p) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℒ, γ;t]^(-1))[f(t)](p)

Inverse Laplace integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℒ, γ;t]^(-1))[f(t)](p)==(1/(2 π i))(∫_(γ-i ∞)^(γ+i ∞))f(t) (e^(t p))dt. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℒ, γ;t]^(-1))[f(t)](p) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℒ, t]^(-1))[f(t)](p)

Inverse Laplace integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℒ, t]^(-1))[f(t)](p)==(Subscript[ℒ, γ;t]^(-1))[f(t)](p) for appropriately chosen γ.

(Subscript[ℒ, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])}])[f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]))]((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

Laplace double integral transform of the function f with respect to the variables (Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]): (Subscript[ℒ, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])}])[f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]))]((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))==(∫_0^∞)(∫_0^∞)f((Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])) (e^(-(Subscript[t, 1]) (Subscript[z, 1])-(Subscript[t, 2]) (Subscript[z, 2])))d(Subscript[t, 1])d(Subscript[t, 2]).

(Subscript[ℳ, t])[f(t)](z)

Mellin integral transform of the function f with respect to the variable t: (Subscript[ℳ, t])[f(t)](z)==(∫_0^∞)f(t) (t^(z-1))dt. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℳ, t])[f(t)](z) is defined in the sense of generalized functions.)

(Subscript[ℳ, γ;s]^(-1))[f(s)](t)

Inverse Mellin integral transform of the function f with respect to the variable s: (Subscript[ℳ, γ;s]^(-1))[f(s)](t)==(1/(2 π i))(∫_(γ-i ∞)^(γ+i ∞))f(s) (t^(-s))ds. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[ℳ, γ;s]^(-1))[f(s)](t)==(1/(2 π i))(∫_(γ-i ∞)^(γ+i ∞))f(s) (t^(-s))ds is defined in the sense of generalized functions.) The condition on γ is typically indicated in the result.

(Subscript[𝒲, y])[(Subscript[ψ, k])(y)](x,p)

Wigner integral transform: (Subscript[𝒲, y])[(Subscript[ψ, k])(y)](x,p)== (∫_(-∞)^∞)(e^(-i y p))(Subscript[(OverBar[ψ]), k])(x-(y/2))(Subscript[ψ, k])(x+(y/2))dy. (If this integral does not converge, the value of (Subscript[𝒲, y])[(Subscript[ψ, k])(y)](x,p) is defined in the sense of generalized functions.)

Limits

(lim_(z->a)) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches a in any direction: ((lim_(z->a)) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, δ,δ>0])((Subscript[∀, z,|z-a|<δ])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->a+0)) f(z)==(lim_(z->(SuperPlus[a]))) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches a in direction -1: ((lim_(z->a+0)) f(z)==(lim_(z->(SuperPlus[a]))) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, δ,δ>0])((Subscript[∀, z,z-a<δ∧z>a])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->a-0)) f(z)==(lim_(z->(SuperMinus[a]))) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches a in direction 1: ((lim_(z->a-0)) f(z)==(lim_(z->(SuperMinus[a]))) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, δ,δ>0])((Subscript[∀, z,a-z<δ∧z<a])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->a+i 0)) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches a in direction -i: ((lim_(z->a+i 0)) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, δ,δ>0])((Subscript[∀, z,|z-a|<δ∧-i(z-a)>0])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->a-i 0)) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches a in direction i: ((lim_(z->a-i 0)) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, δ,δ>0])((Subscript[∀, z,|z-a|<δ∧i(z-a)>0])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->∞)) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches ∞: ((lim_(z->∞)) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, Δ,Δ>0])((Subscript[∀, z,z>Δ])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->-∞)) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches -∞: ((lim_(z->-∞)) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, Δ,Δ>0])((Subscript[∀, z,z<-Δ])|f(z)-F|<ϵ)).

(lim_(z->(OverTilde[∞]))) f(z)

The limiting value of f(z) when z approaches (OverTilde[∞]) : ((lim_(z->(OverTilde[∞]))) f(z)==F)==(Subscript[∀, ϵ,ϵ>0])((Subscript[∃, Δ,Δ>0])((Subscript[∀, z,\[LeftBracketingBar]z\[RightBracketingBar]>Δ])\[LeftBracketingBar]f(z)-F\[RightBracketingBar]<ϵ)).

Continued fractions

(Underoverscript[Κ, (k=m), n]) ((Subscript[a, k])/(Subscript[b, k]))

A finite continued fraction  ((Subscript[a, m])/((Subscript[b, m])+((Subscript[a, m+1])/((Subscript[b, m+1])+((Subscript[a, m+2])/((Subscript[b, m+2])+((Subscript[a, m+3])/(⋱ (Subscript[b, n-1])+(Subscript[a, n]))))))))).

(Underoverscript[Κ, (k=1), ∞]) ((Subscript[a, k])/(Subscript[b, k]))

Limit of the finite continued fraction  (lim_(n->∞)) (Underoverscript[Κ, (k=1), n]) ((Subscript[a, k])/(Subscript[b, k]))=((Subscript[a, 1])/((Subscript[b, 1])+((Subscript[a, 2])/((Subscript[b, 2])+((Subscript[a, 3])/((Subscript[b, 3])+((Subscript[a, 4])/⋱))))))).

Matrices and determinants

(Subscript[((Subscript[a, j,k])), ({{0≤j≤n}, {0≤k≤n}})])

The n×n matrix with elements (Subscript[a, j,k]).

|(Subscript[((Subscript[a, j,k])), ({{0≤j≤n}, {0≤k≤n}})])|

The determinant of the  n×n matrix with elements (Subscript[a, j,k]).

Symbols used for functions

(Sqrt[z])==(z^(1/2))

Sqrt root: ((((Sqrt[z])))^2)==z.

|z|

The absolute value of the real or complex number z:
 |z|==(Piecewise[{{z, z≥0}, {-z, z<0}}]) for real z and |z|==(Sqrt[((Re(z))^2)+((Im(z))^2)]) for complex z.

(OverBar[z])==(z^*)

Complex conjugate of the number z: (OverBar[z])==Re(z)-i Im(z);(OverBar[x])==x/;Im(x)==0.

n!

Factorial of n: n!==Γ(n+1); n!==1 2 3 …(n-1) n/;n∈(SuperPlus[ℕ]).

n!!

Double factorial of n: n!!==(2^((n/2)-(1/4) cos(n π)+(1/4))) (π^((1/4) cos(n π)-(1/4))) Γ((n/2)+1);(2k)!!==2 4 …(2k-2) 2k/;k∈(SuperPlus[ℕ]);(2k+1)!!==1 3 …(2k-1)(2k+1)/;k∈(SuperPlus[ℕ]).

(({{n}, {k}}))

Binomial coefficient: (({{n}, {k}}))==(({{n}, {n-k}}))==((n!)/(k! (n-k)!))==((Γ(n+1))/(Γ(k+1) Γ(n-k+1))).

(n;(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))

Multinomial coefficient: (n;(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))==((n!)/((∏_(k=1)^m)(Subscript[n, k])!))/;n==(∑_(k=1)^m)(Subscript[n, k]).

(Subscript[(a), n])

Pochhammer symbol representing the product: (Subscript[(a), n])==((Γ(a+n))/(Γ(a)));(Subscript[(a), n])==(∏_(k=0)^(n-1))(a+k)==a(a+1)(a+2)…(a+n-1)/;n∈(SuperPlus[ℕ]).

(z^a)

Power function: (z^a)==(∑_(k=0)^∞)(((log^k)(z) (a^k))/(k!));(z^k)==(Underscript[z×z×…×z, (Underscript[⏟, k–times])])==z (z^(k-1))/;k∈(SuperPlus[ℕ]).

(Subscript[(z;(∑_(j=0)^n)(Subscript[a, j])(z^j)), k]^(-1))

The (k^th) root  (Subscript[z, k]) of algebraic equation (∑_(j=0)^n)(Subscript[a, j])(z^j)==0: (∑_(j=0)^n)(Subscript[a, j])(z^j)==0/;z==(Subscript[z, k])==(Subscript[(z;(∑_(j=0)^n)(Subscript[a, j])(z^j)), k]^(-1)).

∞

Positive infinity symbol.

(OverTilde[∞])

Symbolic value of a complex number when its absolute value tends to infinity.

z ∞

Symbolic value of a complex number when its absolute value tends to infinity and its argument coincides with Arg(z): Arg(z ∞)==Arg(z).

¿

Indeterminate value symbol.

°

One degree °: 1 °==(π/180)≈0.01745329…

⌊z⌋

The greatest integer less than or equal to z: ⌊x⌋==n/;x∈ℝ∧ n∈ℤ ∧n≤x<n+1.

⌈z⌉

The smallest integer greater than or equal to z: ⌈x⌉==n/;x∈ℝ∧n∈ℤ∧n-1<x≤n.

⌊z⌉

The integer closest to z: ⌊x⌉ ==n/;x∈ℝ∧  n∈ℤ ∧|x-n|<(1/2); ⌊n+(1/2)⌉==n/;(n/2)∈ℤ;⌊n+(1/2)⌉==n+1/;((n+1)/2)∈ℤ.

m mod n

The congruence (mod) (the remainder on division of m by n): m mod n==m-n ⌊(m/n)⌋.

⟨(Subscript[j, 1]) (Subscript[j, 2]) (Subscript[m, 1]) (Subscript[m, 2]) | (Subscript[j, 1]) (Subscript[j, 2]) j m⟩

The Clebsch-Gordan coefficient for the decomposition of  |j m⟩ in terms of  |(Subscript[j, 1]) (Subscript[m, 1])⟩ ⊗ |(Subscript[j, 2]) (Subscript[m, 2])⟩.

( ({{(Subscript[j, 1]), (Subscript[j, 2]), (Subscript[j, 3])}, {(Subscript[m, 1]), (Subscript[m, 2]), (Subscript[m, 3])}}) )

The value of the Wigner 3j-symbol.

{ ({{(Subscript[j, 1]), (Subscript[j, 2]), (Subscript[j, 3])}, {(Subscript[j, 4]), (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 6])}}) }

The value of the Racah 6j-symbol.

{(Subscript[s, b]^((1)))(n),(Subscript[s, b]^((2)))(n),…,(Subscript[s, b]^((b-1)))(n),(Subscript[s, b]^((0)))(n)}

The list of the numbers of 1, 2, …, b-1, 0 digits in the base  b representation of n. (Subscript[s, b]^((k)))(n) is the number of times the digit k appears in the base b representation of the integer n; (Subscript[s, 2]^((1)))(n)==n-(∑_(k=1)^∞)⌊(n/(2^k))⌋ .
(Subscript[s, b]^((k)))(n) is the number of times the digit k appears in the base b representation of the integer n.

((n/m))

Jacobi symbol, an integer function of n and m: ((n/m))==(∏_(k=1)^j)((n/(Subscript[p, k])))/;((m-1)/2)∈ℕ∧m=(∏_(k=1)^j)(Subscript[p, k])∧(Subscript[p, k])∈ℙ∧((n/p))==(1-(Subscript[δ, (n/p)-⌊(n/p)⌋, 0])) (2 sgn((∑_(j=1)^p)(Subscript[δ, (j^2) mod p, n mod p]))-1)/;p∈ℙ.
Jacobi symbol is identical to Kronecker symbol.

((n/m))

Kronecker symbol, an integer function of n and m: ((n/m))==(∏_(k=1)^j)((n/(Subscript[p, k])))/;((m-1)/2)∈ℕ∧m=(∏_(k=1)^j)(Subscript[p, k])∧(Subscript[p, k])∈ℙ∧((n/p))==(1-(Subscript[δ, (n/p)-⌊(n/p)⌋, 0])) (2 sgn((∑_(j=1)^p)(Subscript[δ, (j^2) mod p, n mod p]))-1)/;p∈ℙ.
Kronecker symbol is identical to Jacobi symbol.

Functions in alphabetical order

A

(Subscript[a, r])(q)

The characteristic value a for even Mathieu functions w(z)==Ce(a,q,z) with characteristic exponent r and parameter q, such that there exists a solution of the corresponding Mathieu differential equation w''(z)+(a-2 q cos(2 z)) w(z)==0 that is of the form w(z)==(e^(i r z)) f(z), where f(z) is an even function of z with period 2 π.

A

The Glaisher constant A: A≈1.2824271…

agm(a,b)

The arithmetic-geometric mean of a and b: agm(a,b)==π (a+b)/(4 K((((((a-b)/(a+b))))^2))).

(Subscript[ai, k])

The (k^th) root of the equation Ai(z)==0: (Ai(z)/;z==(Subscript[ai, k]))==0/;k∈(SuperPlus[ℕ]).

Ai(z)

The Airy function Ai: Ai(z)==(1/((3^(2/3)) Γ((2/3)))) (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(2/3);((z^3)/9))-((z )/((3^(1/3)) Γ((1/3)))) (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(4/3);((z^3)/9)).

Ai'(z)

The first derivative of the Airy function Ai: Ai'(z)==((z^2)/(2 (3^(2/3)) Γ((2/3))))  (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(5/3);((z^3)/9))-(1/((3^(1/3)) Γ((1/3)))) (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(1/3);((z^3)/9)).

am(z|m)

Jacobi amplitude function with module m. The value of u for which the elliptic integral of the first kind F(u|m) has the value z:  am(z|m)==2(∑_(k=-∞)^∞) (tan^(-1))(tanh(((π )/2)((K(m))/(K(1-m))) (k+(z/(2 K(m)))))).

arg(z)==Arg(z)

The argument of the complex number z (where z==|z| (e^(i arg(z)))): arg(z)==-i log((z/(|z|))).

B

(Subscript[b, r])(q)

The characteristic value b for odd Mathieu functions w(z)==Se(a,q,z) with characteristic exponent r and parameter q, such that there exists a solution of the corresponding Mathieu differential equation w''(z)+(a-2 q cos(2 z)) w(z)==0 that is of the form w(z)==(e^(i r z)) f(z), where f(z) is an odd function of z with period 2 π.

(Subscript[B, n])

The (n^th) Bell number: (Subscript[B, n])==n!  ([(t^n) ](e^((e^t)-1)))/;n∈ℕ; (Subscript[B, n])==(Subscript[B, n])(1)/;n∈ℕ.

(Subscript[B, n])(z)

(Subscript[B, n])

The (n^th) Bernoulli number: (Subscript[B, n])==n! ([(t^n) ](t/((e^t)-1)))/;n∈ℕ; (Subscript[B, n])==(Subscript[B, n])(0)/;n∈ℕ.

(Subscript[B, n])(z)

(Subscript[B, n]^((z)))

(Subscript[B, n]^((α)))(z)

bei(z)

The Kelvin function of the first kind bei: bei(z)==((z^2)/4) (∑_(k=0)^∞)((((-1))^k)/((((2k+1)!))^2))((((z/2)))^(4 k));bei(z)==(Subscript[bei, 0])(z).

(Subscript[bei, ν])(z)

The Kelvin function of the first kind bei: (Subscript[bei, ν])(z)==((cos(((3 π ν)/4)))/(Γ(ν+2)))((((z/2)))^(ν+2))(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) ((((z/4)))^(4 k)))/((Subscript[((ν/2)+1), k]) (Subscript[(((ν+3)/2)), k]) (Subscript[((3/2)), k]) k!))+((sin(((3 π ν)/4)) )/(Γ(ν+1)))((((z/2)))^ν)(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) ((((z/4)))^(4 k)))/((Subscript[(((ν+1)/2)), k]) (Subscript[((ν/2)+1), k]) (Subscript[((1/2)), k]) k!))/;-ν∉(SuperPlus[ℕ]).

ber(z)

The Kelvin function of the first kind ber: ber(z)==(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) ((((z/2)))^(4 k)))/((((2 k)!))^2));ber(z)==(Subscript[ber, 0])(z).

(Subscript[ber, ν])(z)

The Kelvin function of the first kind ber: (Subscript[ber, ν])(z)==((cos(((3 π ν)/4)) )/(Γ(ν+1)))((((z/2)))^ν)(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) ((((z/4)))^(4 k)))/((Subscript[(((ν+1)/2)), k]) (Subscript[((ν/2)+1), k]) (Subscript[((1/2)), k]) k!))-((sin(((3 π ν)/4)))/(Γ(ν+2)))((((z/2)))^(ν+2))(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) ((((z/4)))^(4 k)))/((Subscript[((ν/2)+1), k]) (Subscript[(((ν+3)/2)), k]) (Subscript[((3/2)), k]) k!))/;-ν∉(SuperPlus[ℕ]).

(Subscript[bi, k])

The (k^th) root of the equation Bi(z)==0: (Bi(z)/;z==(Subscript[bi, k]))==0/;k∈(SuperPlus[ℕ]).

Bi(z)

The Airy function Bi: Bi(z)==(1/((3^(1/6)) Γ((2/3)))) (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(2/3);((z^3)/9))+(((3^(1/6)) z)/(Γ((1/3))))  (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(4/3);((z^3)/9)).

Bi'(z)

The first derivative of the Airy function Bi: Bi'(z)==(( (z^2))/(2 (3^(1/6)) Γ((2/3))))(Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(5/3);((z^3)/9))+(((3^(1/6)) )/(Γ((1/3))))(Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;(1/3);((z^3)/9)).

C

C

The Catalan constant C: C≈0.9159655…

C(z)

(Subscript[C, z])

The Catalan numbers: (Subscript[C, z])==(((2^(2 z)) Γ(z+(1/2)))/((Sqrt[π]) Γ(z+2))).

(Subscript[C, n])(z)

The cyclotomic polynomial of order n in z: (Subscript[C, n])(z)== (∏_(Underscript[k=1, gcd(k,n)=1])^n)(z-(e^(2 π i k/n))).

(Subscript[C, ν]^((0)))(z)==(Subscript[C, ν])(z)

The renormalized form of the (ν^th) Gegenbauer function in z: (Subscript[C, ν]^((0)))(z)==(2/ν)(Subscript[T, ν])(z)==(2/ν)cos(ν (cos^(-1))(z)). For the nonnegative integer ν, the function (Subscript[C, ν]^((0)))(z) is a polynomial in z.

(Subscript[C, ν]^λ)(z)

The (ν^th) Gegenbauer function in z for parameter λ: (Subscript[C, ν]^λ)(z)==(((2^(1-2 λ)) (Sqrt[π]) Γ(ν+2 λ))/(ν! Γ(λ))) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+2 λ;λ+(1/2);((1-z)/2)). For the nonnegative integer ν, the function (Subscript[C, ν]^λ)(z) is a polynomial in z.

cd(z|m)

The Jacobi elliptic function cd: cd(z|m)==((cn(z|m))/(dn(z|m)))==(1/(dc(z|m))).

(cd^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function cd is the value of u for which the Jacobi elliptic function cd, such that cd(u|m)==z: (cd^(-1))(z|m)==(∫_z^1)(1/((Sqrt[1-(t^2)]) (Sqrt[1-m (t^2)])))dt/;-1<z<1∧m<1.

Ce(a,q,z)

The even Mathieu function with characteristic value a and parameter q.

(Subscript[Ce, z])(a,q,z)==Ce'(a,q,z)

The derivative with respect to z of the even Mathieu function with characteristic value a and parameter q: (Subscript[Ce, z])(a,q,z)==((∂Ce(a,q,z) )/(∂z)).

Chi(z)

The hyperbolic cosine integral function: Chi(z)==(∫_0^z)((cosh(t)-1)/t)dt+log(z)+ℽ==log(z)+ℽ+(1/2) (∑_(k=1)^∞)((z^(2 k))/(k (2 k)!)).

Ci(z)

The cosine integral function: Ci(z)==(∫_0^z)((cos(t)-1)/t)dt+log(z)+ℽ==-(∫_z^∞)((cos(t))/t)dt==log(z)+ℽ+(1/2) (∑_(k=1)^∞)(((((-1))^k) (z^(2 k)))/(k (2 k)!))/;|Arg(z)|<π.

cn(z|m)

The Jacobi elliptic function cn: cn(z|m)==cos(am(z|m)).

(cn^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function cn. The value of u such that cn(u|m)==z: (cn^(-1))(z|m)==(∫_z^1)(1/((Sqrt[1-(t^2)]) (Sqrt[m (t^2)-m+1])))dt/;-1<z<1∧m ((z^2)-1)>-1.

cos(z)

The cosine function: cos(z)== (((e^( i z))+(e^(- i z)))/(2 ))==(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k)(z^(2 k)))/((2 k)!)).

(cos^(-1))(z)

The inverse cosine function: (cos^(-1))(z)==(π/2)-(sin^(-1))(z)==(π/2)+i log(i z+(Sqrt[1-(z^2)])).

cosh(z)

The hyperbolic cosine function: cosh(z)== (((e^z)+(e^(-z)))/(2 ))==cos(i z)==(∑_(k=0)^∞)((z^(2 k))/((2 k)!)).

(cosh^(-1))(z)

The inverse hyperbolic cosine function: (cosh^(-1))(z)==log(z+(Sqrt[z-1]) (Sqrt[z+1]))==((Sqrt[z-1])/(Sqrt[1-z]))(cos^(-1))(z).

cot(z)

The cotangent function: cot(z)==((cos(z))/(sin(z)))== (1/(tan(z))).

(cot^(-1))(z)

The inverse cotangent function: (cot^(-1))(z)==(tan^(-1))((1/z))==(i/2) (log(1-(i/z))-log(1+(i/z)))/;z≠0.

coth(z)

The hyperbolic cotangent function: coth(z)==((cosh(z))/(sinh(z)))== (1/(tanh(z)))==i cot(i z).

(coth^(-1))(z)

cs(z|m)

The Jacobi elliptic function cs: cs(z|m)==((cn(z|m))/(sn(z|m)))==(1/(sc(z|m))).

(cs^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function cs. The value of u such that cs(u|m)==z: (cs^(-1))(z|m)==(∫_z^∞)(1/((Sqrt[(t^2)+1]) (Sqrt[(t^2)-m+1])))dt/;z∈ℝ∧(z^2)-m>-1.

csc(z)

The cosecant function: csc(z)==(1/(sin(z))).

(csc^(-1))(z)

The inverse cosecant function: (csc^(-1))(z)==(sin^(-1))((1/z))==-i log((i/z)+(Sqrt[1-(1/(z^2))])).

csch(z)

The hyperbolic cosecant function: csch(z)== (1/(sinh(z)))==i csc(i z).

(csch^(-1))(z)

The inverse hyperbolic cosecant function: (csch^(-1))(z)==(sinh^(-1))((1/z))==i (csc^(-1))(i z)==log((Sqrt[1+(1/(z^2))])+(1/z)).

D

(Subscript[d, M,M']^J)(β)

The Wigner d-function: (Subscript[d, M,M']^J)(β)==(((-1))^(J-M')) (Sqrt[(J+M)! (J-M)! (J+M')! (J-M')!]) (∑_(k=max(0,-M-M'))^(min(J-M,J-M')))(((-1))^k) (((cos^(M+M'+2 k))((β/2)) (sin^(2 J-M-M'-2 k))((β/2)))/(k! (J-M-k)! (J-M'-k)! (M+M'+k)!))/;{2 J,2 M,2 M',J-M,J-M'}∈ℤ∧|M|≤J∧|M'|≤J

(Subscript[D, ν])(z)

The parabolic cylinder function D: (Subscript[D, ν])(z)==(2^(ν/2)) (Sqrt[π])(e^(-((z^2)/4))) ((1/(Γ(((1-ν)/2))))(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(-(ν/2);(1/2);((z^2)/2))-(((Sqrt[2]) z)/(Γ(-(ν/2))))(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(((1-ν)/2);(3/2);((z^2)/2))).

(Subscript[D, M,M']^J)(α,β,γ)

dc(z|m)

The Jacobi elliptic function dc: dc(z|m)==((dn(z|m))/(cn(z|m)))==(1/(cd(z|m))).

(dc^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function dc. The value of u such that dc(u|m)==z: (dc^(-1))(z|m)==(∫_1^z)(1/((Sqrt[(t^2)-1]) (Sqrt[(t^2)-m])))dt/;z∈ℝ∧(z^2)>1∧(z^2)-m>0∧m<1.

den(r)

The denominator of r.

divisors(n)

dn(z|m)

The Jacobi elliptic function dn: dn(z|m)==(Sqrt[1-m (sin^2)(am(z|m))])/;m<1.

(dn^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function dn. The value of u such that dn(u|m)==z: (dn^(-1))(z|m)==(∫_z^1)(1/((Sqrt[1-(t^2)]) (Sqrt[(t^2)+m-1])))dt/;-1<z<1∧(z^2)+m>1.

ds(z|m)

The Jacobi elliptic function ds: ds(z|m)==((dn(z|m))/(sn(z|m)))==(1/(sd(z|m))).

(ds^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function ds. The value of u such that ds(u|m)==z: (ds^(-1))(z|m)==(∫_z^∞)(1/((Sqrt[(t^2)+m]) (Sqrt[(t^2)+m-1])))dt/;z∈ℝ∧(z^2)+m>1.

E

e

The Euler exponential constant e: e≈2.7182818…

(e^z)==exp(z)

Exponential function: (e^z)==(∑_(k=0)^∞)((z^k)/(k!)).

{(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3])}=={(Subscript[e, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 2])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))

The values of the Weierstrass ℘ function at the half-periods {(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3])}: {(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3])}=={(Subscript[e, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 2])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))=={℘((Subscript[ω, 1]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),℘((Subscript[ω, 2]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),℘((Subscript[ω, 3]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}/;(Subscript[ω, 2])==-(Subscript[ω, 1])-(Subscript[ω, 3]).

{(Subscript[e, 1]^′),(Subscript[e, 2]^′),(Subscript[e, 3]^′)}=={(Subscript[e, 1]^′)((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 2]^′)((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 3]^′)((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))

The values of the Weierstrass ℘' function at the half-periods {(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3])}: {(Subscript[e, 1]^′),(Subscript[e, 2]^′),(Subscript[e, 3]^′)}=={(Subscript[e, 1]^′)((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 2]^′)((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[e, 3]^′)((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))=={℘'((Subscript[ω, 1]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),℘'((Subscript[ω, 2]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),℘'((Subscript[ω, 3]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}/;(Subscript[ω, 2])==-(Subscript[ω, 1])-(Subscript[ω, 3]).

E(z)

The complete elliptic integral of the second kind: E(z)==E((π/2)|z)==(∫_0^(π/2))(Sqrt[1-z (sin^2)(t)])dt/;|Arg(1-z)|<π.

E(z|m)

The elliptic integral of the second kind: E(z|m)==(∫_0^z)(Sqrt[1-m (sin^2)(t)])dt.

(Subscript[E, n])

The (n^th) Euler number: (Subscript[E, n])==(2^(n+1))n! ([(t^n) ]((e^(t/2))/((e^t)+1)))/;n∈ℕ

(Subscript[E, n])(z)

The Euler polynomial of order n in z: (Subscript[E, n])(z)==2 n! ([(t^n) ]((e^(z t))/((e^t)+1)))/;n∈ℕ.

(Subscript[E, ν])(z)

The exponential integral E: (Subscript[E, ν])(z)==(∫_1^∞)((e^(-z t))/(t^ν))dt/;Re(z)>0.

eexp(z;a,b)

The elliptic exponential function eexp(z;a,b)=={x,y}. The values {x,y} such that z==elog(x,y;a,b)/;  (y^2)-x ((x^2)+a x+b)== 0.

(Subscript[eexp, z]^′)(z;a,b)

The first derivative of the elliptic exponential function with respect to z: (Subscript[eexp, z]^′)(z;a,b)==((∂eexp(z;a,b))/(∂z)).

egcd(m,n)

The extended greatest common divisor of the integers m and n: egcd(m,n) == {g,{r,s}}/;g==gcd(m,n)∧g==m r+n s∧Re(m), Im(m),Re(n), Im(n) ∈ℤ.

elog((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]);a,b)

The generalized elliptic logarithm associated with the elliptic curve (Subscript[z, 1]^3)+a (Subscript[z, 1]^2)+b (Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]^2)==0: elog((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]);a,b)==(((Sqrt[(Subscript[z, 2]^2)]) )/(2 (Subscript[z, 2]))) (∫_∞^(Subscript[z, 1]))(1/(Sqrt[(t^3)+a (t^2)+b t]))dt/;(Subscript[z, 1]^3)+a (Subscript[z, 1]^2)+b (Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]^2)==0∧a∈ℝ∧b∈ℝ.

erf(z)

The error function: erf(z)==((2 )/(Sqrt[π]))(∫_0^z)(e^(-(t^2)))dt==(2/(Sqrt[π]))(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) (z^(2 k+1)))/(k! (2 k+1))).

(erf^(-1))(z)

The inverse of the error function. The value of u such that erf(u)==z.

erf((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

The generalized error function: erf((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))==((2 )/(Sqrt[π]))(∫_(Subscript[z, 1])^(Subscript[z, 2]))(e^(-(t^2)))dt==erf((Subscript[z, 2]))-erf((Subscript[z, 1])).

(erf^(-1))((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

The inverse of the generalized error function. The value of u such that erf((Subscript[z, 1]),u)==(Subscript[z, 2]).

erfc(z)

The complementary error function: erfc(z)==((2 )/(Sqrt[π]))(∫_z^∞)(e^(-(t^2)))dt==1-erf(z)==1-(2/(Sqrt[π]))(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) (z^(2 k+1)))/(k! (2 k+1))).

(erfc^(-1))(z)

The inverse of the complementary error function. The value of u such that erfc(u)==z.

erfi(z)

The imaginary error function: erfi(z)==((2 )/(Sqrt[π]))(∫_0^z)(e^(t^2))dt==-i erf(i z)==(2/(Sqrt[π]))(∑_(k=0)^∞)(( (z^(2 k+1)))/(k! (2 k+1))).

Ei(z)

F

(Subscript[F, ν])

(Subscript[F, ν])(z)

The Fibonacci polynomial of order n in z: (Subscript[F, ν])(z)==(1/(Sqrt[(z^2)+4]))((2^(-ν)) (((z+(Sqrt[(z^2)+4])))^ν)-cos(ν π) (2^ν) (((z+(Sqrt[(z^2)+4])))^(-ν))).

F(z|m)

The elliptic integral of the first kind: F(z|m)==(∫_0^z)(1/(Sqrt[1-m (sin^2)(t)]))dt.

(Subscript[F, 1])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);c;(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

The Appell hypergeometric function of two variables (Subscript[F, 1]):(Subscript[F, 1])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);c;(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))==(∑_(k=0)^∞)(∑_(l=0)^∞)(((Subscript[(a), k+l]) (Subscript[((Subscript[b, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), l]) (Subscript[z, 1]^k) (Subscript[z, 2]^l))/((Subscript[(c), k+l]) k! l!))/;|(Subscript[z, 1])|<1∧|(Subscript[z, 2])|<1.

(Subscript[, 0])(Subscript[F, 0])(;;z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 0])(Subscript[F, 0]):(Subscript[, 0])(Subscript[F, 0])(;;z)==(e^z).

(Subscript[, 1])(Subscript[F, 0])(a;;z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 1])(Subscript[F, 0]): (Subscript[, 1])(Subscript[F, 0])(a;;z)==(((1-z))^(-a)).

(Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;b;z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1]):(Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;b;z)==(∑_(k=0)^∞)((z^k)/((Subscript[(b), k]) k!)).

(Subscript[, 0])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(;b;z)

The regularized generalized hypergeometric function (Subscript[, 0])(Subscript[(OverTilde[F]), 1]):(Subscript[, 0])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(;b;z)==(∑_(k=0)^∞)((z^k)/(Γ(b+k) k!)).

(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(a;b;z)

The Kummer confluent hypergeometric function (Subscript[, 1])(Subscript[F, 1]):(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(a;b;z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[(a), k]) (z^k))/((Subscript[(b), k]) k!)).

(Subscript[, 1])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a;b;z)

The regularized confluent hypergeometric function (Subscript[, 1])(Subscript[(OverTilde[F]), 1]):(Subscript[, 1])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a;b;z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[(a), k]) (z^k))/(Γ(b+k) k!)).

(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(a,b;c;z)

The Gauss hypergeometric function (Subscript[, 2])(Subscript[F, 1]):(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(a,b;c;z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[(a), k]) (Subscript[(b), k]) (z^k))/((Subscript[(c), k]) k!))/;|z|<1.

(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a,b;c;z)

The regularized Gauss hypergeometric function (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1]): (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a,b;c;z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[(a), k]) (Subscript[(b), k]) (z^k))/(Γ(c+k) k!))/;|z|<1.

(Subscript[, 1])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 1])(Subscript[F, 2]):(Subscript[, 1])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[a, 1])), k]) (z^k))/((Subscript[((Subscript[b, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), k]) k!)).

(Subscript[, 2])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 2])(Subscript[F, 2]):(Subscript[, 2])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[a, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 2])), k]) (z^k))/((Subscript[((Subscript[b, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), k]) k!)).

(Subscript[, 2])(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]);z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 2])(Subscript[F, 3]):(Subscript[, 2])(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[a, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 2])), k]) (z^k))/((Subscript[((Subscript[b, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 3])), k]) k!)).

(Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2]):(Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[a, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 2])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 3])), k]) (z^k))/((Subscript[((Subscript[b, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), k]) k!))/;|z|<1.

(Subscript[, 4])(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[a, 4]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]);z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, 4])(Subscript[F, 3]):(Subscript[, 4])(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[a, 4]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[a, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 2])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 3])), k]) (Subscript[((Subscript[a, 4])), k]) (z^k))/((Subscript[((Subscript[b, 1])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), k]) (Subscript[((Subscript[b, 3])), k]) k!))/;|z|<1.

(Subscript[, p])(Subscript[F, q])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),…,(Subscript[b, q]);z)

The generalized hypergeometric function (Subscript[, p])(Subscript[F, q]):(Subscript[, p])(Subscript[F, q])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),…,(Subscript[b, q]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((∏_(j=1)^p)(Subscript[((Subscript[a, j])), k]) (z^k))/((∏_(j=1)^q)(Subscript[((Subscript[b, j])), k]) k!))/;q==p-1∧|z|<1∨q≥p.

(Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),…,(Subscript[b, q]);z)

The regularized generalized hypergeometric function (Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q]):(Subscript[, p])(Subscript[(OverTilde[F]), q])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…,(Subscript[a, p]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),…,(Subscript[b, q]);z)==(∑_(k=0)^∞)(((∏_(j=1)^p)(Subscript[((Subscript[a, j])), k]) (z^k))/((∏_(j=1)^q)Γ(k+(Subscript[b, j])) k!))/;q==p-1∧|z|<1∨q≥p.

(Subscript[F, P,Q,S]^(A,B,C))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, A]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, B]);(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, C]);}, {(Subscript[p, 1]),…,(Subscript[p, P]);(Subscript[q, 1]),…,(Subscript[q, Q]);(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, S]);}})z,w)

The generalized hypergeometric function of two variables (Kampe de Feriet function): (Subscript[F, P,Q,S]^(A,B,C))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, A]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, B]);(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, C]);}, {(Subscript[p, 1]),…,(Subscript[p, P]);(Subscript[q, 1]),…,(Subscript[q, Q]);(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, S]);}})z,w)==(∑_(m=0)^∞)(∑_(n=0)^∞)(((∏_(j=1)^A)(Subscript[((Subscript[a, j])), m+n]) (∏_(j=1)^B)(Subscript[((Subscript[b, j])), m]) (∏_(j=1)^C)(Subscript[((Subscript[c, j])), n]) (z^m)(w^n))/(m! n! (∏_(j=1)^P)(Subscript[((Subscript[p, j])), m+n]) (∏_(j=1)^Q)(Subscript[((Subscript[q, j])), m]) (∏_(j=1)^S)(Subscript[((Subscript[s, j])), n]))).

(Subscript[(OverTilde[F]), P,Q,S]^(A,B,C))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, A]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, B]);(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, C]);}, {(Subscript[p, 1]),…,(Subscript[p, P]);(Subscript[q, 1]),…,(Subscript[q, Q]);(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, S]);}})z,w)

The regularized generalized hypergeometric function of two variables (regularized Kampe de Feriet function): (Subscript[(OverTilde[F]), P,Q,S]^(A,B,C))(({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, A]);(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, B]);(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, C]);}, {(Subscript[p, 1]),…,(Subscript[p, P]);(Subscript[q, 1]),…,(Subscript[q, Q]);(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, S]);}})z,w)==(∑_(m=0)^∞)(∑_(n=0)^∞)(((∏_(j=1)^A)(Subscript[((Subscript[a, j])), m+n]) (∏_(j=1)^B)(Subscript[((Subscript[b, j])), m]) (∏_(j=1)^C)(Subscript[((Subscript[c, j])), n]) (z^m)(w^n))/(m! n! (∏_(j=1)^P)Γ(m+n+(Subscript[p, j])) (∏_(j=1)^Q)Γ(m+(Subscript[q, j])) (∏_(j=1)^S)Γ(n+(Subscript[s, j])))).

(Subscript[F, A]^((n)))(a,(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, n]);(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, n]);(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))

The Lauricella function A of n variables: (Subscript[F, A]^((n)))(a,(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, n]);(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, n]);(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))==(∑_((Subscript[k, 1])=0)^∞)…(∑_((Subscript[k, n])=0)^∞)(((Subscript[(a), (Subscript[k, 1])+…+(Subscript[k, n])]) (Subscript[((Subscript[b, 1])), (Subscript[k, 1])])… (Subscript[((Subscript[b, n])), (Subscript[k, n])]))/((Subscript[((Subscript[c, 1])), (Subscript[k, 1])])… (Subscript[((Subscript[c, n])), (Subscript[k, n])]))) (((Subscript[z, 1]^(Subscript[k, 1]))(Subscript[…z, n]^(Subscript[k, n])))/((Subscript[k, 1])!(Subscript[…k, n])!))/;|(Subscript[z, 1])|+…+|(Subscript[z, n])|<1.

(Subscript[F, B]^((n)))((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, n]);c;(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))

The Lauricella function B of n variables: (Subscript[F, B]^((n)))((Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, n]);c;(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))==(∑_((Subscript[k, 1])=0)^∞)…(∑_((Subscript[k, n])=0)^∞)(( (Subscript[((Subscript[a, 1])), (Subscript[k, 1])])… (Subscript[((Subscript[a, n])), (Subscript[k, n])])(Subscript[((Subscript[b, 1])), (Subscript[k, 1])])… (Subscript[((Subscript[b, n])), (Subscript[k, n])]))/(Subscript[(c), (Subscript[k, 1])+…+(Subscript[k, n])]))(((Subscript[z, 1]^(Subscript[k, 1]))(Subscript[…z, n]^(Subscript[k, n])))/((Subscript[k, 1])!(Subscript[…k, n])!))/;max(|(Subscript[z, 1])|,…,|(Subscript[z, n])|)<1.

(Subscript[F, C]^((n)))(a,b;(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, n]);(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))

The Lauricella function C of n variables: (Subscript[F, C]^((n)))(a,b;(Subscript[c, 1]),…,(Subscript[c, n]);(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))==(∑_((Subscript[k, 1])=0)^∞)…(∑_((Subscript[k, n])=0)^∞)(((Subscript[(a), (Subscript[k, 1])+…+(Subscript[k, n])]) (Subscript[(b), (Subscript[k, 1])+…+(Subscript[k, n])]))/((Subscript[((Subscript[c, 1])), (Subscript[k, 1])])… (Subscript[((Subscript[c, n])), (Subscript[k, n])]))) (((Subscript[z, 1]^(Subscript[k, 1]))(Subscript[…z, n]^(Subscript[k, n])))/((Subscript[k, 1])!(Subscript[…k, n])!))/;(Sqrt[|(Subscript[z, 1])|])+…+(Sqrt[|(Subscript[z, n])|])<1.

(Subscript[F, D]^((n)))(a,(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, n]);c;(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))

The Lauricella function D of n variables: (Subscript[F, D]^((n)))(a,(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, n]);c;(Subscript[z, 1]),…,(Subscript[z, n]))==(∑_((Subscript[k, 1])=0)^∞)…(∑_((Subscript[k, n])=0)^∞)(((Subscript[(a), (Subscript[k, 1])+…+(Subscript[k, n])]) (Subscript[((Subscript[b, 1])), (Subscript[k, 1])])… (Subscript[((Subscript[b, n])), (Subscript[k, n])]))/(Subscript[(c), (Subscript[k, 1])+…+(Subscript[k, n])]))(((Subscript[z, 1]^(Subscript[k, 1]))(Subscript[…z, n]^(Subscript[k, n])))/((Subscript[k, 1])!(Subscript[…k, n])!))/;max(|(Subscript[z, 1])|,…,|(Subscript[z, n])|)<1.

factors(n)

The prime factors of the integer n, together with their exponents.

frac(z)

The fractional part of number z: frac(x)==x-n/;x∈ℝ∧n∈ℤ∧0≤sgn(x) (x-n)<1∧x≠0.

G

(Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}}))

The Meijer G function: (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}}))==(( 1)/( 2 π i))(∫_ℒ)(((∏_(k=1)^m)Γ((Subscript[b, k])+s)(∏_(k=1)^n)Γ(1-(Subscript[a, k])-s) )/((∏_(k=n+1)^p)Γ((Subscript[a, k])+s)(∏_(k=m+1)^q)Γ(1-(Subscript[b, k])-s)))(z^(-s))ds /;0≤m≤q, 0≤n≤p.

The infinite contour of integration ℒ separates the poles of Γ(1-(Subscript[a, k])-s) at s=1-(Subscript[a, k])+j, j∈ℕ from the poles of Γ((Subscript[b, i])+ s) at s=-(Subscript[b, i])-l, l∈ℕ. Such a contour always exists in the cases  (Subscript[a, k])-(Subscript[b, i])-1∉ℕ.

There are three possibilities for the contour ℒ:

(i) ℒ runs from γ-i ∞  to γ+i  ∞ (where Im(γ)=0) so that all poles of Γ((Subscript[b, i])+ s), i=1,…,m are to the left of  ℒ , and all poles of Γ(1-(Subscript[a, i])- s), i=1,…,n are to the right of ℒ. This contour can be a straight  line (γ-i ∞, γ+i ∞) if  Re((Subscript[b, i])-(Subscript[a, k]))>-1 (then  -Re((Subscript[b, i]))<γ<1-Re((Subscript[a, k]))). (In this case, the integral converges if p+q<2(m+n) ,  |Arg(z)|<(m +n-((p+q)/2)) π. If m +n-((p+q)/2)=0, then z must be real and positive and the additional condition  (q-p)γ+Re(μ)<0,μ==(∑_(l=1)^q)(Subscript[b, l])-(∑_(k=1)^p)(Subscript[a, k])+((p-q)/2)+1 should be added.)

(ii) ℒ is a left loop, starting and ending at -∞ and encircling all poles of Γ((Subscript[b, i])+ s), i=1,…,m, once in the positive direction, but none of the poles of  Γ(1-(Subscript[a, i])- s), i=1,…,n. In this case, the integral converges if q≥1 and one of the following conditions is satisfied:

◼  q>p or q=p and |z|<1

◼  q=p and |z|==1 and  m +n-((p+q)/2)≥0 and Re(μ)<0.

(iii) ℒ is a right loop, starting and ending at +∞ and encircling all  poles of Γ(1-(Subscript[a, i])-s), i=1,…,n, once in the negative direction, but none of the poles of Γ((Subscript[b, i])+s), i=1,…,m. In this case, the integral converges if p≥1 and one of the following conditions is satisfied:

\[FilledSmallSquare]  p>q or p=q and \[LeftBracketingBar]z\[RightBracketingBar]>1

◼  q=p and |z|==1 and  m +n-((p+q)/2)≥0 and  Re(μ)<0.

(Subscript[G, p,q]^(m,n))(z,r|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}}))

The generalized Meijer G function: (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z,r|({{(Subscript[a, 1]),, (Subscript[a, 2]),}, {(Subscript[b, 1]),, (Subscript[b, 2]),}})({{…,, (Subscript[a, p])}, {…,, (Subscript[b, q])}}))==(( 1)/( 2 π i))(∫_ℒ)((((∏_(k=1)^m)Γ((Subscript[b, k])+s) )(∏_(k=1)^n)Γ(1-(Subscript[a, k])-s) )/(((∏_(k=n+1)^p)Γ((Subscript[a, k])+s) )(∏_(k=m+1)^q)Γ(1-(Subscript[b, k])-s)))(z^(-(s/r)))ds/;r∈ℝ∧r≠0∧m∈ℕ∧n∈ℕ∧p∈ℕ∧q∈ℕ∧m≤q∧n≤p.

For the description of the contour ℒ, see (Subscript[G, p,q]^(m,n))(z|({{(Subscript[a, 1]),…,(Subscript[a, n]),(Subscript[a, n+1]),…,(Subscript[a, p])}, {(Subscript[b, 1]),…,(Subscript[b, m]),(Subscript[b, m+1]),…,(Subscript[b, q])}})).

(Subscript[G, p,q:(Subscript[p, 1]),(Subscript[q, 1]):(Subscript[p, 2]),(Subscript[q, 2])]^(m,n:(Subscript[m, 1]),(Subscript[n, 1]):(Subscript[m, 2]),(Subscript[n, 2])))(({{(Subscript[a, 1]),}, {(Subscript[b, 1]),}})({{…,, (Subscript[a, p])}, {…,, (Subscript[b, q])}})|({{(Subscript[a, 1,1]),}, {(Subscript[b, 1,1]),}})({{…,, (Subscript[a, 1,(Subscript[p, 1])])}, {…,, (Subscript[b, 1,(Subscript[q, 1])])}})|({{(Subscript[a, 2,1]),}, {(Subscript[b, 2,1]),}})({{…,, (Subscript[a, 2,(Subscript[p, 2])])}, {…,, (Subscript[b, 2,(Subscript[q, 2])])}})|z,w)

The Meijer G function of two variables: (Subscript[G, p,q:(Subscript[p, 1]),(Subscript[q, 1]):(Subscript[p, 2]),(Subscript[q, 2])]^(m,n:(Subscript[m, 1]),(Subscript[n, 1]):(Subscript[m, 2]),(Subscript[n, 2])))(({{(Subscript[a, 1]),}, {(Subscript[b, 1]),}})({{…,, (Subscript[a, p])}, {…,, (Subscript[b, q])}})|({{(Subscript[a, 1,1]),}, {(Subscript[b, 1,1]),}})({{…,, (Subscript[a, 1,(Subscript[p, 1])])}, {…,, (Subscript[b, 1,(Subscript[q, 1])])}})|({{(Subscript[a, 2,1]),}, {(Subscript[b, 2,1]),}})({{…,, (Subscript[a, 2,(Subscript[p, 2])])}, {…,, (Subscript[b, 2,(Subscript[q, 2])])}})|z,w)==(1/((( 2 π i))^2))(∫_ℒ)(∫_(SuperStar[ℒ]))(((∏_(j=1)^m)Γ((Subscript[b, j])+s+t) (∏_(j=1)^n)Γ(1-(Subscript[a, j])-s-t) )/((∏_(j=n+1)^p)Γ((Subscript[a, j])+s+t)(∏_(j=m+1)^q)Γ(1-(Subscript[b, j])-s-t)))(((∏_(j=1)^(Subscript[m, 1]))Γ((Subscript[b, 1,j])+s) (∏_(j=1)^(Subscript[n, 1]))Γ(1-(Subscript[a, 1,j])-s) )/((∏_(j=(Subscript[n, 1])+1)^(Subscript[p, 1]))Γ((Subscript[a, 1,j])+s)(∏_(j=(Subscript[m, 1])+1)^(Subscript[q, 1]))Γ(1-(Subscript[b, 1,j])-s)))(((∏_(j=1)^(Subscript[m, 2]))Γ((Subscript[b, 2,j])+t) (∏_(j=1)^(Subscript[n, 2]))Γ(1-(Subscript[a, 2,j])-t) )/((∏_(j=(Subscript[n, 2])+1)^(Subscript[p, 2]))Γ((Subscript[a, 2,j])+t)(∏_(j=(Subscript[m, 2])+1)^(Subscript[q, 2]))Γ(1-(Subscript[b, 2,j])-t)))(z^(-s))(w^(-t))dsdt/;0≤m≤q, 0≤n≤p,0≤(Subscript[m, 1])≤(Subscript[q, 1]), 0≤(Subscript[n, 1])≤(Subscript[p, 1]),0≤(Subscript[m, 2])≤(Subscript[q, 2]), 0≤(Subscript[n, 2])≤(Subscript[p, 2]).

{(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])}=={(Subscript[g, 2])((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3])),(Subscript[g, 3])((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3]))}

The invariants {(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])} for Weierstrass elliptic functions corresponding to the half-periods {(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3])}: {(Subscript[g, 2])((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3])),(Subscript[g, 3])((Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3]))}== {60 (∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1/(((2 m (Subscript[ω, 1])+2 n (Subscript[ω, 3])))^4)),140 (∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1/(((2 m (Subscript[ω, 1])+2 n (Subscript[ω, 3])))^6))}/; Im(((Subscript[ω, 3])/(Subscript[ω, 1])))>0.

gcd((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, k]))

The greatest common divisor of the integers (Subscript[n, 1]),…,(Subscript[n, k]).

H

(Subscript[h, ν]^((1)))(z)

The Hankel spherical function of the first kind H1: (Subscript[h, ν]^((1)))(z)==(Sqrt[(π/2)])((1 )/(Sqrt[z]))(Subscript[H, ν+(1/2)]^((1)))(z).

(Subscript[h, ν]^((2)))(z)

The Hankel spherical function of the second kind H2: (Subscript[h, ν]^((2)))(z)==(Sqrt[(π/2)])((1 )/(Sqrt[z]))(Subscript[H, ν+(1/2)]^((2)))(z).

(Subscript[H, z])

The (z^th) harmonic number: (Subscript[H, z])==(∑_(k=1)^∞)((1/k)-(1/(k+z)))==ψ(z+1)+γ.

(Subscript[H, z]^((r)))

The generalized harmonic number of order r: (Subscript[H, z]^((r)))==ζ(r)-ζ(r,z+1).

(Subscript[H, ν])(z)

The (ν^th) Hermite function in z: (Subscript[H, ν])(z)==(2^ν) (Sqrt[π]) ((1/(Γ(((1-ν)/2))))(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(-(ν/2);(1/2);(z^2))-((2 z )/(Γ(-(ν/2))))(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(((1-ν)/2);(3/2);(z^2))). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

(Subscript[H, ν])(z)

The Struve function H: (Subscript[H, ν])(z)==((((z/2)))^(ν+1)) (∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) )/(Γ(k+(3/2)) Γ(k+ν+(3/2))))((((z/2)))^(2 k)).

(Subscript[H, ν]^((1)))(z)

The Hankel function of the first kind H1: (Subscript[H, ν]^((1)))(z)==(Subscript[J, ν])(z)+i (Subscript[Y, ν])(z).

(Subscript[H, ν]^((2)))(z)

The Hankel function of the second kind H2: (Subscript[H, ν]^((2)))(z)==(Subscript[J, ν])(z)-i (Subscript[Y, ν])(z).

(Subscript[H, p,q]^(m,n))(z|({{{(Subscript[a, 1]),(Subscript[A, 1])},…,{(Subscript[a, n]),(Subscript[A, n])},{(Subscript[a, n+1]),(Subscript[A, n+1])},…,{(Subscript[a, p]),(Subscript[A, p])}}, {{(Subscript[b, 1]),(Subscript[B, 1])},…,{(Subscript[b, m]),(Subscript[B, m])},{(Subscript[b, m+1]),(Subscript[B, m+1])},…,{(Subscript[b, q]),(Subscript[B, q])}}}))

The Fox H function: (Subscript[H, p,q]^(m,n))(z|({{{(Subscript[a, 1]),(Subscript[A, 1])},…,{(Subscript[a, n]),(Subscript[A, n])},{(Subscript[a, n+1]),(Subscript[A, n+1])},…,{(Subscript[a, p]),(Subscript[A, p])}}, {{(Subscript[b, 1]),(Subscript[B, 1])},…,{(Subscript[b, m]),(Subscript[B, m])},{(Subscript[b, m+1]),(Subscript[B, m+1])},…,{(Subscript[b, q]),(Subscript[B, q])}}}))==(( 1)/( 2 π i))(∫_ℒ)(((∏_(k=1)^m)Γ((Subscript[b, k])+(Subscript[B, k])s)(∏_(k=1)^n)Γ(1-(Subscript[a, k])-(Subscript[A, k])s) )/((∏_(k=n+1)^p)Γ((Subscript[a, k])+(Subscript[A, k])s)(∏_(k=m+1)^q)Γ(1-(Subscript[b, k])-(Subscript[B, k])s)))(z^(-s))ds/;0≤m≤q, 0≤n≤p.

The infinite contour of integration ℒ separates the poles of Γ(1-(Subscript[a, k])-(Subscript[A, k])s) at s=(1-(Subscript[a, k])+j)/(Subscript[A, k]), j∈ℕ from the poles of Γ((Subscript[b, i])+ (Subscript[B, i])s) at points s=-((Subscript[b, i])+l)/(Subscript[B, i]), l∈ℕ.

I

i

The imaginary unit i: i==(Sqrt[-1]).

(Subscript[I, ν])(z)

The modified Bessel function of the first kind: (Subscript[I, ν])(z)==(∑_(k=0)^∞)((1 )/(Γ(k+ν+1) k!))((((z/2)))^(2 k+ν))==(1/(Γ(ν+1)))((((z/2)))^ν) (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;ν+1;((z^2)/4)).

(Subscript[I, z])(a,b)

The regularized incomplete beta function: (Subscript[I, z])(a,b)==(((Subscript[Β, z])(a,b))/(Β(a,b))).

(Subscript[I, z]^(-1))(a,b)

The inverse of the regularized incomplete beta function. The value of u such that (Subscript[I, u])(a,b)==z.

(Subscript[I, ((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))])(a,b)

The generalized regularized incomplete beta function: (Subscript[I, ((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))])(a,b)==((Β((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),a,b))/(Β(a,b))).

(Subscript[I, ((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))]^(-1))(a,b)

The inverse of the generalized regularized incomplete beta function. The value of u such that (Subscript[I, ((Subscript[z, 1]),u)])(a,b)==(Subscript[z, 2]).

Im(z)

The imaginary part of the number z: z==Re(z)+i Im(z), Im(z)==((z-(OverBar[z]))/(2i)).

int(z)

The integer part of number z: int(x)==n/;x∈ℝ∧n∈ℤ∧0≤sgn(x) (x-n)<1∧x≠0.

J

(Subscript[j, ν])(z)

The spherical Bessel function of the first kind: (Subscript[j, ν])(z)==(Sqrt[(π/2)])(1/(Sqrt[z])) (Subscript[J, ν+(1/2)])(z)==((Sqrt[π])/2)  ((((z/2)))^ν) (∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) (z^(2 k)))/((4^k) Γ(k+ν+(3/2)) k!)).

(Subscript[j, ν,k])

The (k^th) root of the equation (Subscript[J, ν])(z)==0: ((Subscript[J, ν])(z)/;z==(Subscript[j, ν,k]))==0/;ν∈ℝ∧k∈(SuperPlus[ℕ]).

J(z)

The Klein invariant modular function: J(z)==(((((((Subscript[ϑ, 2])(0,(e^(π i z))))^8)+(((Subscript[ϑ, 3])(0,(e^(π i z))))^8)+(((Subscript[ϑ, 4])(0,(e^(π i z))))^8)))^3)/(54 ((((Subscript[ϑ, 2])(0,(e^(π i z))) (Subscript[ϑ, 3])(0,(e^(π i z))) (Subscript[ϑ, 4])(0,(e^(π i z)))))^8)))/;Im(z)>0.

(Subscript[J, ν])(z)

The Bessel function of the first kind: (Subscript[J, ν])(z)==(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) )/(Γ(k+ν+1) k!))((((z/2)))^(2 k+ν))==(1/(Γ(ν+1)))((((z/2)))^ν) (Subscript[, 0])(Subscript[F, 1])(;ν+1;-((z^2)/4)).

K

K

The Khinchin constant K: K≈2.685452001…

K(z)

The complete elliptic integral of the first kind: K(z)==F((π/2)|z)==(∫_0^(π/2))(1/(Sqrt[1-z (sin^2)(t)]))dt/;|Arg(1-z)|<π.

(Subscript[K, ν])(z)

The modified Bessel function of the second kind: (Subscript[K, ν])(z)==(( π csc(π ν))/2) ((Subscript[I, -ν])(z)-(Subscript[I, ν])(z))/;ν∉ℤ.

kei(z)

The Kelvin function of the second kind kei: kei(z)==-(1/4) i (2 (Subscript[K, 0])(((-1)^(1/4)) z)+π (Subscript[Y, 0])(((-1)^(1/4)) z)-4 i (log(z)-log(((-1)^(1/4)) z)) bei(z)-i π ber(z));kei(z)==(Subscript[kei, 0])(z).

(Subscript[kei, ν])(z)

The Kelvin function of the second kind kei: (Subscript[kei, ν])(z)==(π/2) (csc(π ν) (Subscript[bei, -ν])(z)-cot(π ν) (Subscript[bei, ν])(z)+(Subscript[ber, ν])(z))/;ν∉ℤ.

ker(z)

The Kelvin function of the second kind ker: ker(z)==(1/4) (2 (Subscript[K, 0])(((-1)^(1/4)) z)-π (Subscript[Y, 0])(((-1)^(1/4)) z)+π bei(z)-4 (log(z)-log(((-1)^(1/4)) z)) ber(z));ker(z)==(Subscript[ker, 0])(z).

(Subscript[ker, ν])(z)

The Kelvin function of the second kind ker: (Subscript[ker, ν])(z)==-(1/2) π ((Subscript[bei, ν])(z)-csc(π ν) (Subscript[ber, -ν])(z)+cot(π ν) (Subscript[ber, ν])(z))/;ν∉ℤ.

L

(Subscript[L, ν])

The (ν^th) Lucas number: (Subscript[L, ν])==(ϕ^ν)+(ϕ^(-ν)) cos(π ν).

(Subscript[L, ν])(z)

The (ν^th) Laguerre function in z: (Subscript[L, ν])(z)(Subscript[==, 1])(Subscript[F, 1])(-ν;1;z). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

(Subscript[L, ν]^λ)(z)

The (ν^th) generalized Laguerre polynomial in z for parameter λ: (Subscript[L, ⋁]^λ)(z)==((Γ(λ+⋁+1) )/(⋁!))(Subscript[, 1])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-⋁;λ+1;z). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

(Subscript[L, ν])(z)

The modified Struve function: (Subscript[L, ν])(z)==((((z/2)))^(ν+1)) (∑_(k=0)^∞)((1 )/(Γ(k+(3/2)) Γ(k+ν+(3/2))))((((z/2)))^(2 k)).

lcm((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))

The least common multiple of the integers (or rational) (Subscript[n, k]).

li(z)

(Subscript[Li, ν])(z)

The polylogarithm function of order ν: (Subscript[Li, ν])(z)==(∑_(k=1)^∞)((z^k)/(k^ν))/;|z|<1. For ν==2 it is a dilogarithm function in z.

log(z)

The natural logarithm: log(z)==(∑_(k=1)^∞)(((((-1))^(k-1)) (((z-1))^k))/k)/;|z-1|<1.

(Subscript[log, a])(z)

The logarithm in base a: (Subscript[log, a])(z)==((log(z))/(log(a))).

logΓ(z)

The logarithmic gamma function: logΓ(z)==(∑_(k=1)^∞)((z/k)-log(1+(z/k)))-ℽ z-log(z).

M

(Subscript[M, ν,μ])(z)

The Whittaker hypergeometric function M: (Subscript[M, ν,μ])(z)==(z^(μ+(1/2))) (e^(-(z/2))) (Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(μ-ν+(1/2);2 μ+1;z).

max((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))

The maximum function (the numerically largest of the real numbers (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n])): max((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))==(1/2) ((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Sqrt[((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])))^2)]))/;(Subscript[x, 1])∈ℝ∧(Subscript[x, 2])∈ℝ;
max((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))==max(max((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])),(Subscript[x, 3]),…,(Subscript[x, n])).

min((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))

The minimum function (the numerically smallest of the real numbers (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n])): min((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))==(1/2) ((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Sqrt[((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])))^2)]))/;(Subscript[x, 1])∈ℝ∧(Subscript[x, 2])∈ℝ;max((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))==max(max((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])),(Subscript[x, 3]),…,(Subscript[x, n])).

N

nc(z|m)

The Jacobi elliptic function nc: nc(z|m)==(1/(cn(z|m))).

(nc^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function nc. The value of u such that nc(u|m)==z: (nc^(-1))(z|m)==(∫_1^z)(1/((Sqrt[(t^2)-1]) (Sqrt[(1-m) (t^2)+m])))dt/;z∈ℝ∧(z^2)>1∧(1-m) (z^2)+m>0.

nd(z|m)

The Jacobi elliptic function nd: nd(z|m)==(1/(dn(z|m))).

(nd^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function nd. The value of u such that nd(u|m)==z: (nd^(-1))(z|m)==(∫_1^z)(1/((Sqrt[(t^2)-1]) (Sqrt[1-(1-m) (t^2)])))dt/;z∈ℝ∧(z^2)>1∧(1-m) (z^2)<1∧m>0.

ns(z|m)

The Jacobi elliptic function ns: ns(z|m)==(1/(sn(z|m))).

(ns^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function ns. The value of u such that ns(u|m)==z: (ns^(-1))(z|m)==(∫_z^∞)(1/((Sqrt[(t^2)-1]) (Sqrt[(t^2)-m])))dt/;z∈ℝ∧(z^2)>1∧(z^2)>m.

P

p(n)

The number of unrestricted partitions (independent of the order and with repetitions allowed) of the positive integer n into a sum of strictly positive integers that add up to n: p(n) ==([(t^n)](∏_(k=1)^∞)(1/(1-(t^k))))/;n∈ℕ.

(Subscript[p, n])(==prime(n))

The (n^th) prime number (the smallest integer greater than (Subscript[p, n-1]) that cannot be divided by any integer greater than 1 and smaller than itself): (Subscript[p, n])==m/;n>1∧m∈ℤ∧m>(Subscript[p, n-1])∧(¬(Subscript[∃, p,p∈ℙ])(Subscript[p, n-1])<p<m)∧(¬(Subscript[∃, k,k∈ℤ∧1<k<m])(m/k)∈ℤ).

(Subscript[P, ν])(z)

The (ν^th) Legendre function in z: (Subscript[P, ν])(z)==(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(-ν,ν+1;1;((1-z)/2)). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

(Subscript[P, ν]^μ)(z)

The associated Legendre function of the first kind of type 2: (Subscript[P, ν]^μ)(z)==((((1+z))^(μ/2))/(((1-z))^(μ/2))) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+1;1-μ;((1-z)/2)).

(Subscript[𝔓, ν]^μ)(z)

The associated Legendre function of the second kind of type 3: (Subscript[𝔓, ν]^μ)(z)==((((z+1))^(μ/2))/(((z-1))^(μ/2)))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+1;1-μ;((1-z)/2)).

(Subscript[P, ν]^((a,b)))(z)

The (ν^th) Jacobi function in z for parameters a and b: (Subscript[P, ν]^((a,b)))(z)==((Γ(a+ν+1))/(Γ(ν+1)))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,a+b+ν+1;a+1;((1-z)/2)). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

𝒫𝒽𝓎𝓈𝒾𝒸𝒶ℓ𝒬((Subscript[j, 1]),(Subscript[m, 1]),(Subscript[j, 2]),(Subscript[m, 2]),j,m)

A Boolean function that tests whether the angular momentum quantum numbers are physically realizable: 𝒫𝒽𝓎𝓈𝒾𝒸𝒶ℓ𝒬((Subscript[j, 1]),(Subscript[m, 1]),(Subscript[j, 2]),(Subscript[m, 2]),j,m)==(2 (Subscript[j, 1])∈ℤ∧2 (Subscript[j, 2])∈ℤ∧2 j∈ℤ∧2 (Subscript[m, 1])∈ℤ∧2 (Subscript[m, 2])∈ℤ∧2 m∈ℤ∧(Subscript[j, 1])-(Subscript[m, 1])∈ℤ∧(Subscript[j, 2])-(Subscript[m, 2])∈ℤ∧j-m∈ℤ∧-(Subscript[j, 1])≤(Subscript[m, 1])≤(Subscript[j, 1])∧-(Subscript[j, 2])≤(Subscript[m, 2])≤(Subscript[j, 2])∧-j≤m≤j∧|(Subscript[j, 1])-(Subscript[j, 2])|≤j∧|j|≤(Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])).

(Subscript[PS, ν,μ])(γ,z)

The angular spheroidal function of the first kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ.

(Subscript[PS, ν,μ])'(γ,z)

The derivative with respect to z of the angular spheroidal function of the first kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ: (Subscript[PS, ν,μ])'(γ,z)==((∂(Subscript[PS, ν,μ])(γ,z))/(∂z)).

Q

q(n)

The number of ordered partitions (independent of the order and no repetitions allowed) of the positive integer n into a sum of strictly positive integers which add up to n: q(n) ==([(t^n)](∏_(k=1)^∞)(1+(t^k)))/;n∈ℕ.

q(m)

The elliptic nome q of the module m: q(m)==exp(-π((K(1-m))/(K(m)))).

(q^(-1))(z)

The module m of the nome z: (q^(-1))(z)==16z (∏_(k=1)^∞)(((((1+(z^(2k)))/(1+(z^(2k-1))))))^8)/;|z|<1,(q^(-1))(q(m))==m.

(Subscript[Q, ν])(z)

The (ν^th) Legendre function of the second kind: (Subscript[Q, ν])(z)==(Subscript[Q, ν]^0)(z).

(Subscript[Q, ν]^μ)(z)associated

The associated Legendre function of the second kind of type 2: (Subscript[Q, ν]^μ)(z)==(( π csc(μ π) )/2)(((((1+z))^(μ/2))/(((1-z))^(μ/2))) cos(μ π) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+1;1-μ;((1-z)/2))-(( Γ(μ+ν+1) )/(Γ(-μ+ν+1)))((((1-z))^(μ/2))/(((1+z))^(μ/2)))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+1;μ+1;((1-z)/2)))/;μ∉ℤ.

(Subscript[𝔔, ν]^μ)(z)

The associated Legendre function of the second kind of type 3: (Subscript[𝔔, ν]^μ)(z)==((π csc(μ π))/2)(e^(π i μ)) (((((z+1))^(μ/2))/(((z-1))^(μ/2))) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+1;1-μ;((1-z)/2))-(( Γ(μ+ν+1) )/(Γ(-μ+ν+1)))((((z-1))^(μ/2))/(((z+1))^(μ/2)))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-ν,ν+1;μ+1;((1-z)/2)))/;μ∉ℤ.

Q(a,z)

The regularized incomplete gamma function: Q(a,z)==(1/(Γ(a)))(∫_z^∞)(t^(a-1)) (e^(-t))dt==1-((z^a)/(Γ(a+1)))(∑_(k=0)^∞)((a (((-z))^k))/((a+k) k!)).

(Q^(-1))(a,z)

The inverse of the regularized incomplete gamma function. The value of u such that Q(a,u)==z.

Q(a,(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

The generalized regularized incomplete gamma function: Q(a,(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))==(1/(Γ(a)))(∫_(Subscript[z, 1])^(Subscript[z, 2]))(t^(a-1)) (e^(-t))dt.

(Q^(-1))(a,(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

The inverse of the generalized regularized incomplete gamma function. The value u such that Q(a,(Subscript[z, 1]),u)==w.

(Subscript[QS, ν,μ])(γ,z)

The angular spheroidal function of the second kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ.

(Subscript[QS, ν,μ])'(γ,z)

The derivative with respect to z of the angular spheroidal function of the second kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ: (Subscript[QS, ν,μ])'(γ,z)==((∂(Subscript[QS, ν,μ])(γ,z))/(∂z)).

quotient(m,n)

The integer quotient of m and n: quotient(m,n)==⌊(m/n)⌋.

R

(Subscript[r, m])(n)

The number of representations of n as a sum of m squares of different positive or negative integers.

r(a,q)

The characteristic exponent of the Mathieu functions. MathieuFunction(a,q,z)=(e^(i r(a,q)z))f(z) (where f(z) has period 2π).

(Subscript[R, n]^m)(z)

Re(z)

The real part of the number z: z==Re(z)+i Im(z), Re(z)==((z+(OverBar[z]))/2).

S

S(z)

The Fresnel integral S: S(z)==(∫_0^z)sin(((π (t^2))/2))dt==(z^3) (∑_(k=0)^∞)(((2^(-2 k-1)) (π^(2 k+1)) (((-(z^4)))^k))/((4 k+3) (2 k+1)!)).

(Subscript[S, ν,p])(z)==(Subscript[S, ν]^p)(z)

The Nielsen generalized polylogarithm: (Subscript[S, ν,p])(z)==(∑_(k=1)^∞)(((((-1))^(k+p)) (Subscript[S, k]^((p))) (z^k))/((k^ν) k!))/;|z|<1∧p∈(SuperPlus[ℕ]).

(Subscript[S, n]^((m)))

The Stirling number of the first kind: (Subscript[S, n]^((m)))==(((-1))^n)  ([(t^m)](Subscript[(-t), n]))/;m,n∈ℕ.

(Subscript[𝒮, n]^((m)))

The Stirling number of the second kind: (Subscript[𝒮, n]^((m)))==(1/(m!))(∑_(k=0)^m)(((-1))^(m-k)) (({{m}, {k}})) (k^n)/;m,n-1∈ℕ.

(Subscript[S, ν,μ]^((1)))(γ,z)

The radial spheroidal function of the first kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ.

(Subscript[S, ν,μ]^((1)))'(γ,z)

The derivative with respect to z of the radial spheroidal function of the first kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ: (Subscript[S, ν,μ]^((1)))'(γ,z)==((∂(Subscript[S, ν,μ]^((1)))(γ,z))/(∂z)).

(Subscript[S, ν,μ]^((2)))(γ,z)

The radial spheroidal function of the second kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ.

(Subscript[S, ν,μ]^((2)))'(γ,z)

The derivative with respect to z of the radial spheroidal function of the second kind with variable z and parameters ν,  μ,  γ: (Subscript[S, ν,μ]^((2)))'(γ,z)==((∂(Subscript[S, ν,μ]^((2)))(γ,z))/(∂z)).

sc(z|m)

The Jacobi elliptic function sc: sc(z|m)==((sn(z|m))/(cn(z|m)))==(1/(cs(z|m))).

(sc^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function sc. The value of u such that sc(u|m)==z: (sc^(-1))(z|m)==(∫_0^z)(1/((Sqrt[(t^2)+1]) (Sqrt[(1-m) (t^2)+1])))dt/;z∈ℝ∧(1-m) (z^2)>-1.

sd(z|m)

The Jacobi elliptic function sd: sd(z|m)==((sn(z|m))/(dn(z|m)))==(1/(ds(z|m))).

(sd^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function sd. The value of u such that sd(u|m)==z: (sd^(-1))(z|m)==(∫_0^z)(1/((Sqrt[m (t^2)+1]) (Sqrt[1-(1-m) (t^2)])))dt/;z∈ℝ∧m (z^2)>-1∧(1-m) (z^2)<1.

Se(a,q,z)

The odd Mathieu function with characteristic value a and parameter q.

(Subscript[Se, z])(a,q,z)==Se'(a,q,z)

The derivative with respect to z of the odd Mathieu function with characteristic value a and parameter q: Se'(a,q,z)==((∂Se(a,q,z) )/(∂z)).

sec(z)

The secant function: sec(z)== (1/(cos(z))).

(sec^(-1))(z)

The inverse secant function: (sec^(-1))(z)==(cos^(-1))((1/z)).

sech(z)

The hyperbolic secant function: sech(z)== (1/(cosh(z)))==sec(i z).

(sech^(-1))(z)

The inverse hyperbolic secant function: (sech^(-1))(z)==(cosh^(-1))((1/z))==((Sqrt[1/z-1])/(Sqrt[1-1/z]))(sec^(-1))(z).

sgn(z)

The signum of the number z: sgn(z)==(z/(|z|))/;z≠0

Shi(z)

The hyperbolic sine integral function: Shi(z)==(∫_0^z)((sinh(t))/t)dt==z (∑_(k=0)^∞)((z^(2 k))/((((1+2 k))^2) (2 k)!)).

Si(z)

The sine integral function: Si(z)==(∫_0^z)((sin(t))/t)dt==(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) (z^(2 k+1)))/((2 k+1) (2 k+1)!)).

sin(z)

The sine function: sin(z)==(((e^(i z))-(e^(-i z)))/(2 i))==(∑_(k=0)^∞)(((((-1))^k) (z^(2 k+1)))/((2 k+1)!)).

(sin^(-1))(z)

The inverse sine function: (sin^(-1))(z)== -i log(i z+(Sqrt[1-(z^2)])).

sinc(z)

The sinc (sampling) function: sinc(z)==((sin(z))/z)/;z≠0; sinc(0)==1.

sinh(z)

The hyperbolic sine function: sinh(z)== (((e^z)-(e^(-z)))/(2 ))==-i sin(i z)==(∑_(k=0)^∞)((z^(2 k+1))/((2 k+1)!)).

(sinh^(-1))(z)

The inverse hyperbolic sine function: (sinh^(-1))(z)== log(z+(Sqrt[1+(z^2)]))==-i (sin^(-1))(i z).

sn(z|m)

The Jacobi elliptic function sn: sn(z|m)==sin(am(z|m)).

(sn^(-1))(z|m)

The inverse of the Jacobi elliptic function sn. The value of u such that sn(u|m)==z: (sn^(-1))(z|m)==(∫_0^z)(1/((Sqrt[1-(t^2)]) (Sqrt[1-m (t^2)])))dt/;-1<z<1∧m (z^2)<1.

SpheroidalJoiningFactor(ν,μ,γ)

The spheroidal joining factor of degree ν and order μ appearing in the relations between radial and angular spheroidal functions.

SpheroidalRadialFactor(ν,μ,γ)

The spheroidal radial factor of degree ν and order μ appearing in expansions of radial spheroidal function of the first kind around γ == 0.

Subfactorial[z]

The subfactorial function (number of complete permutations): Subfactorial[z]==((Γ(z+1,-1))/e).

T

(Subscript[T, ν])(z)

The (ν^th) Chebyshev function of the first kind: (Subscript[T, ν])(z)==cos(ν (cos^(-1))(z))==(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(-ν,ν;(1/2);((1-z)/2)). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

tan(z)

The tangent function: tan(z)==((sin(z))/(cos(z))).

(tan^(-1))(z)

The inverse tangent function: (tan^(-1))(z)==(( i)/2) (log(1-i z)-log(1+i z)).

(tan^(-1))(x,y)

The inverse tangent function of two variables: (tan^(-1))(x,y)==-i log(((x+i y)/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))).

tanh(z)

The hyperbolic tangent function: tanh(z)==((sinh(z))/(cosh(z)))==-i tan(i z).

(tanh^(-1))(z)

The inverse hyperbolic tangent function: (tanh^(-1))(z)==(1/2) (log(1+z)-log(1-z))==-i (tan^(-1))(i z).

U

(Subscript[U, ν])(z)

The (ν^th) Chebyshev function of the second kind: (Subscript[U, ν])(z)  ==((sin((ν+1) (cos^(-1))(z)))/(Sqrt[1-(z^2)]))==(ν+1) (Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(-ν,ν+2;(3/2);((1-z)/2)). For nonnegative integer ν it is a polynomial in z.

U(a,b,z)

The Tricomi hypergeometric function U: U(a,b,z)==((Γ(b-1)(z^(1-b)))/(Γ(a))) (Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(a-b+1;2-b;z)+((Γ(1-b) )/(Γ(a-b+1)))(Subscript[, 1])(Subscript[F, 1])(a;b;z)/;b∉ℤ.

U(a,b,c,z)

W

W(z)

The product log function on the principal sheet. The value of u such that u (e^u)==z.

(Subscript[W, k])(z)

The product log function on the (k^th) sheet. The (k^th) value of u such that u (e^u)==z.

(Subscript[W, ν,μ])(z)

The Whittaker hypergeometric function W: (Subscript[W, ν,μ])(z)==(z^(μ+(1/2))) (e^(-(z/2))) U(μ-ν+(1/2),2 μ+1,z).

Y

(Subscript[y, ν])(z)

The spherical Bessel function of the second kind: (Subscript[y, ν])(z)==(Sqrt[(π/2)])(1/(Sqrt[z]))(Subscript[Y, ν+(1/2)])(z).

(Subscript[y, ν,k])

The (k^th) root of the equation (Subscript[Y, ν])(z)==0: ((Subscript[Y, ν])(z)/;z==(Subscript[y, ν,k]))==0/;ν∈ℝ∧k∈(SuperPlus[ℕ]).

(Subscript[Y, ν])(z)

The Bessel function of the second kind: (Subscript[Y, ν])(z)==csc(π ν) (cos(π ν) (Subscript[J, ν])(z)-(Subscript[J, -ν])(z))/;ν∉ℤ.

(Subscript[Y, λ]^μ)(ϑ,φ)

The spherical harmonic function of  θ and φ for parameters λ and μ: (Subscript[Y, λ]^μ)(ϑ,φ)==(Sqrt[((2 λ+1)/(4 π))]) ((Sqrt[Γ(λ-μ+1)])/(Sqrt[Γ(λ+μ+1)])) (e^(i φ μ)) ((((cos^2)((ϑ/2)))^(μ/2))/(((sin^2)((ϑ/2)))^(μ/2))) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(-λ,λ+1;1-μ;(sin^2)((ϑ/2))).

Z

Z(z)

The Riemann-Siegel Zeta function: Z(z)==(e^(i ϑ(z))) ζ(i z+(1/2)).

Ζ(z|m)

The Jacobi Zeta function: Ζ(z|m)==E(z|m)-((E(m))/(K(m))) F(z|m).

Β

Β(a,b)

The Euler beta function: Β(a,b)==((Γ(a) Γ(b))/(Γ(a+b)))==(∫_0^1)(t^(a-1)) (((1-t))^(b-1))dt/;Re(a)>0∧Re(b)>0.

(Subscript[Β, z])(a,b)

The incomplete beta function: (Subscript[Β, z])(a,b)==(∫_0^z)(t^(a-1)) (((1-t))^(b-1))dt/;Re(a)>0; (Subscript[Β, z])(a,b)==(z^a) Γ(a) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a,1-b;a+1;z)/;-a∉ℕ.

(Subscript[Β, ((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))])(a,b)

The generalized incomplete beta function: (Subscript[Β, ((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))])(a,b)==(∫_(Subscript[z, 1])^(Subscript[z, 2]))(t^(a-1)) (((1-t))^(b-1))dt==(Subscript[Β, (Subscript[z, 2])])(a,b)-(Subscript[Β, (Subscript[z, 1])])(a,b).

Γ

ℽ

Euler gamma ℽ: ℽ==(lim_(n->∞)) ((∑_(k=1)^n)(1/k)-log(n))≈0.5772156…

(Subscript[γ, n])

The (n^th) Stieltjes constant: (Subscript[γ, n])==(((-1))^n)n! ([(((s-1))^n) ]  (ζ(s)-(1/(s-1))))/;n∈ℕ.

Γ(z)

The Euler gamma function: Γ(z)==(∫_0^∞)(t^(z-1)) (e^(-t))dt/;Re(z)>0.

Γ(a,z)

The incomplete gamma function: Γ(a,z)==(∫_z^∞)(t^(a-1)) (e^(-t))dt==Γ(a)-(z^a) (∑_(k=0)^∞)((((-z))^k)/((a+k) k!)).

Γ(a,(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))

The generalized incomplete gamma function: Γ(a,(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]))==(∫_(Subscript[z, 1])^(Subscript[z, 2]))(t^(a-1)) (e^(-t))dt==Γ(a,(Subscript[z, 1]))-Γ(a,(Subscript[z, 2])).

Δ

δ(x)

The Dirac delta function: δ(x)==(1/π)(lim_(ε->0)) (ε/((x^2)+(ε^2)))/;x∈ℝ.

δ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, m]))

δ(n)

The discrete delta function: δ(n)={({{1  n==0}, {0  else}})

δ((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))

The multidimensional discrete delta function: δ((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m]))=(∏_(k=1)^m)δ((Subscript[n, j]))

(Subscript[δ, (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])])

The Kronecker delta function: (Subscript[δ, (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, m])])={({{1  (Subscript[n, 1])==(Subscript[n, 2])==…==(Subscript[n, m])}, {0  else}})

Ε

(Subscript[ε, (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),…,(Subscript[n, d])])

Ζ

ζ(s)

The Riemann zeta function: ζ(s)==(∑_(k=1)^∞)(1/(k^s))/;Re(s)>1.

ζ(s,a)

The generalized Riemann zeta function: ζ(s,a)==(∑_(k=0)^∞)(1/((((((a+k))^2)))^(s/2)))/;-a∉ℕ.

(OverHat[ζ])(s,a)

The generalized classical Riemann zeta function: (OverHat[ζ])(s,a)==(∑_(k=0)^∞)(1/(((a+k))^s))/;Re(s)>1.

(OverTilde[ζ])(s,a)

The regularized generalized classical Riemann zeta function: (OverTilde[ζ])(s,a)==(∑_(k=0)^∞)(1/(((a+k))^s))/;-a∉ℕ; 
(OverTilde[ζ])(s,-n)==(∑_(k=0)^(n-1))((z^k)/(((k-n))^s))+(∑_(k=n+1)^∞)((z^k)/(((k-n))^s))/;n∈ℕ.

ζ(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The Weierstrass elliptic zeta function: ζ(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==(1/z)+(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)((1/(z-2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))-2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))+
(1/(2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))+2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))+(z/(((2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))+2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))^2))).

Η

η(z)

The Dedekind eta modular function: η(z)==(e^(π i z/12)) (∏_(k=1)^∞)(1-(e^(2 π i k z)))/;Im(z)>0.

{(Subscript[η, 1]),(Subscript[η, 2]),(Subscript[η, 3])}=={(Subscript[η, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[η, 2])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[η, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}

The values of the Weierstrass zeta function at the half-periods {(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3])}: {(Subscript[η, 1]),(Subscript[η, 2]),(Subscript[η, 3])}=={(Subscript[η, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[η, 2])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[η, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))=={ζ((Subscript[ω, 1]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),ζ((Subscript[ω, 2]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),ζ((Subscript[ω, 3]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}.

Θ

θ(x)

The unit step function: θ(x)==(Piecewise[{{1, x≥0}, {0, x<0}}])/;x∈ℝ.

θ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))

The multidimensional unit step: θ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))=(∏_(k=1)^n)θ((Subscript[x, k]))

ϑ(z)

The Riemann-Siegel theta function: ϑ(z)==-((z log(π))/2) -(( i)/2) (logΓ((1/4)+((i z)/2))-logΓ((1/4)-((i z)/2))).

(Subscript[ϑ, 1])(z,q)

The first elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 1])(z,q)==2 (q^(1/4)) (∑_(k=0)^∞)(((-1))^k) (q^(k (k+1))) sin((2 k+1) z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 1]^′)(z,q)

The first derivative with respect to z of the first elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 1]^′)(z,q)==((∂(Subscript[ϑ, 1])(z,q))/(∂z))==2 (q^(1/4)) (∑_(k=0)^∞)(((-1))^k) (q^(k (k+1))) (2 k+1) cos((2 k+1) z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 2])(z,q)

The second elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 2])(z,q)==2 (q^(1/4)) (∑_(k=0)^∞)(q^(k (k+1))) cos((2 k+1) z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 2]^′)(z,q)

The first derivative with respect to z of the second elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 2]^′)(z,q)==((∂(Subscript[ϑ, 2])(z,q))/(∂z))==-2 (q^(1/4)) (∑_(k=0)^∞)(q^(k (k+1))) (2 k+1) sin((2 k+1) z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 3])(z,q)

The third elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 3])(z,q)==1+2 (∑_(k=1)^∞)(q^(k^2)) cos(2 k z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 3]^′)(z,q)

The first derivative with respect to z of the third elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 3]^′)(z,q)==((∂(Subscript[ϑ, 3])(z,q))/(∂z))==-4 (∑_(k=1)^∞)(q^(k^2)) k sin(2 k z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 4])(z,q)

The fourth elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 4])(z,q)==1+2 (∑_(k=1)^∞)(((-1))^k) (q^(k^2)) cos(2 k z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, 4]^′)(z,q)

The first derivative with respect to z of the fourth elliptic theta function: (Subscript[ϑ, 4]^′)(z,q)==((∂4(z,q))/(∂z))==-4 (∑_(k=1)^∞)(((-1))^k) k (q^(k^2)) sin(2 k z)/;|q|<1.

(Subscript[ϑ, c])(z|m)

The Neville elliptic theta function C: (Subscript[ϑ, c])(z|m)==(Sqrt[((2 π (Sqrt[q(m)]))/((Sqrt[m]) K(m)))]) (∑_(k=0)^∞)((q(m))^(k (k+1))) cos((((2 k+1) π z)/(2 K(m)))).

(Subscript[ϑ, d])(z|m)

The Neville elliptic theta function D: (Subscript[ϑ, d])(z|m)==(Sqrt[(π/(2 K(m)))]) (1+2 (∑_(k=1)^∞)((q(m))^(k^2)) cos(((k π z)/(K(m))))).

(Subscript[ϑ, n])(z|m)

The Neville elliptic theta function N: (Subscript[ϑ, n])(z|m)==(Sqrt[(π/(2 (Sqrt[1-m]) K(m)))]) (1+2 (∑_(k=1)^∞)(((-1))^k) ((q(m))^(k^2)) cos(((k π z)/(K(m))))).

(Subscript[ϑ, s])(z|m)

The Neville elliptic theta function S: (Subscript[ϑ, s])(z|m)==(Sqrt[((2 π (Sqrt[q(m)]))/((Sqrt[m]) (Sqrt[1-m]) K(m)))]) (∑_(k=0)^∞)(((-1))^k) ((q(m))^(k (k+1))) sin((((2 k+1) π z)/(2 K(m)))).

Θ(Ω,s)

The Siegel theta function Θ(Ω,s) with symmetric Riemann modular matrix Ω=={{(Subscript[m, 1,1]),…,(Subscript[m, 1,r])},…,{(Subscript[m, r,1]),…,(Subscript[m, r,r])}}  with positive definite imaginary part and vector s=={(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, r])}  is defined through (∑_((Subscript[n, 1])=-∞)^∞)… (∑_((Subscript[n, r])=-∞)^∞)(e^(i π (n·(Ω^T)·n+2 n·s))), where (Ω^T) means transposed to Ω matrix (or vector) and n ranges over all possible vectors in the r-dimensional integer lattice: Θ(Ω,s)==Θ((({{(Subscript[m, 1,1]), …, (Subscript[m, 1,r])}, {…, …, …}, {(Subscript[m, r,1]), …, (Subscript[m, r,r])}})),{(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, r])})==(∑_((Subscript[n, 1])=-∞)^∞)… (∑_((Subscript[n, r])=-∞)^∞)(e^(i π (n·Ω·n+2 n·s)))/;Ω=={{(Subscript[m, 1,1]),…,(Subscript[m, 1,r])},…,{(Subscript[m, r,1]),…,(Subscript[m, r,r])}}∧s=={(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, r])}∧n={(Subscript[n, 1]),…,(Subscript[n, r])}.

Θ[({{u}, {v}})](Ω,s)

The Siegel theta function Θ[({{u}, {v}})](Ω,s) with characteristic (({{u}, {v}}))/;u=={(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, r])}∧v=={(Subscript[v, 1]),…,(Subscript[v, r])}, symmetric Riemann modular matrix Ω=={{(Subscript[m, 1,1]),…,(Subscript[m, 1,r])},…,{(Subscript[m, r,1]),…,(Subscript[m, r,r])}}  with positive definite imaginary part and vector s=={(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, r])}  is defined through (∑_((Subscript[n, 1])=-∞)^∞)… (∑_((Subscript[n, r])=-∞)^∞)(e^(i π ((n+u)·(Ω^T)·(n+u)+2 (n+u)·(s+v)))), where (Ω^T) means transposed to Ω matrix (or vector) and n ranges over all possible vectors in the r-dimensional integer lattice: Θ[({{u}, {v}})](Ω,s)==Θ[({{{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, r])}}, {{(Subscript[v, 1]),…,(Subscript[v, r])}}})]((({{(Subscript[m, 1,1]), …, (Subscript[m, 1,r])}, {…, …, …}, {(Subscript[m, r,1]), …, (Subscript[m, r,r])}})),{(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, r])})==(∑_((Subscript[n, 1])=-∞)^∞)… (∑_((Subscript[n, r])=-∞)^∞)(e^(i π ((n+u)·Ω·(n+u)+2 (n+u)·(s+v))))/;u={(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, r])}∧v=={(Subscript[v, 1]),…,(Subscript[v, r])}∧Ω=={{(Subscript[m, 1,1]),…,(Subscript[m, 1,r])},…,{(Subscript[m, r,1]),…,(Subscript[m, r,r])}}∧s=={(Subscript[s, 1]),…,(Subscript[s, r])}∧n={(Subscript[n, 1]),…,(Subscript[n, r])}∧n+u=={(Subscript[n, 1])+(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[n, r])+(Subscript[u, r])}∧s+v=={(Subscript[s, 1])+(Subscript[v, 1]),…,(Subscript[s, r])+(Subscript[v, r])}.

Λ

λ(n)

The Carmichael lambda function: the smallest integer λ such that for any m with gcd(m,n)==1 the congruence  (m^(λ(n)))mod n==1 holds.

λ(z)

The lambda modular function: λ(z)==16(e^(i π z)) (∏_(k=1)^∞)(((((1+ (e^(2k π i z)))/(1+(e^((2k -1)π i z))))))^8)/;Im(z)>0.

(Subscript[λ, ν,μ])(γ)

The eigenvalue of the spheroidal wave functions (the spheroidal eigenvalue of degree ν and order μ of the corresponding Sturm-Liouville wave differential equation (1-(z^2)) w''(z)-2z w'(z)+(λ+(γ^2)(1-(z^2))-(μ^2)/(1-(z^2))) w(z)==0).

Μ

μ(n)

The Möbius function μ: μ(n)=={({{1, if, n==1}, {0, if, (Subscript[∃, m])(n/(m^2))∈ℤ}, {(((-1))^k), if, n==(∏_(j=1)^k)(Subscript[p, j])/;(Subscript[p, j])∈ℙ∧(Subscript[p, j-1])<(Subscript[p, j])}}).

Π

π

The constant pi: π==4 (∑_(k=0)^∞)((((-1))^k)/(2 k+1))≈3.141592…

π(x)

The number of primes less than or equal to x: π(x)==(∑_(k=1)^(⌊x⌋))θ(x-(Subscript[p, k]))/;x∈ℝ∧x≥0∧(Subscript[p, k])∈ℙ.

Π(n|m)

The complete elliptic integral of the third kind: Π(n|m)==Π(n;(π/2)|m)==(∫_0^(π/2))(1/((1-n (sin^2)(t)) (Sqrt[1-m (sin^2)(t)])))dt/;-(π/2)<z<(π/2).

Π(n;z|m)

The incomplete elliptic integral of the third kind: Π(n;z|m)==(∫_0^z)(1/((1-n (sin^2)(t)) (Sqrt[1-m (sin^2)(t)])))dt.

Ρ

(Subscript[ρ, k])

The (k^th) nontrivial zero of the Riemann's zeta function ζ(s) on the critical half-line s==(1/2)+i t/;t>0: (ζ(s)/;s==(Subscript[ρ, k]))==0/;k∈(SuperPlus[ℕ]).

Σ

(Subscript[σ, k])(n)

The sum of the (k^th) powers of the divisors of n: (Subscript[σ, k])(n)==(∑_(d∣n))(d^k)/;n∈(SuperPlus[ℕ]).

σ(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The elliptic Weierstrass sigma function: σ(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==z(∏_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1-(z/(2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))+2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))) ×exp(((z^2)/(2 (((2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))+2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))^2)))+(z/(2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))+2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))).

(Subscript[σ, n])(z,(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The associated elliptic Weierstrass sigma function: (Subscript[σ, n])(z,(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==(((e^(-(Subscript[η, n]) z)) σ(z+(Subscript[ω, n]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))/(σ((Subscript[ω, n]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))/;n∈{1,2,3}∧{(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3])}=={(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),-(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))-(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}∧(Subscript[η, n])==ζ((Subscript[ω, n]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))∧n∈{1,2,3}.

Τ

τ(n)

The Ramanujan tau function of n: τ(n)==(1/2) (∫_(i γ-1)^(i γ+1))(e^(-2 π i n z)) ((η(z))^24)dz/;n∈ℤ∧n≥0∧Re(γ)>0.

τL(z)

The Ramanujan tau L function: τL(z)==(∑_(n=1)^∞)((RamanujanTau(n))/(n^z))/;Re(z)>1.

τZ(z)

The Ramanujan tau Zeta function: τZ(z)==(2^(-i z)) (π^(-i z-(1/2))) Γ(6+i z) τL(6+i z) (Sqrt[((sinh(π z))/(z ((z^2)+1) ((z^2)+4) ((z^2)+9) ((z^2)+16) ((z^2)+25)))]).

τθ(z)

The Ramanujan tau theta function: τθ(z)==-log(2 π)z-(i/2)(logΓ(6+i z)-logΓ(6-i z)).

Φ

Φ(z,s,a)

The Lerch function: Φ(z,s,a)==(∑_(k=0)^∞)((z^k)/((((((a+k))^2)))^(s/2)))/;(|z|<1∨(|z|==1∧Re(s)>1))∧-a∉ℕ;  Φ(z,s,-n)==(∑_(k=0)^(n-1))((z^k)/((((((k-n))^2)))^(s/2)))+(∑_(k=n+1)^∞)((z^k)/((((((k-n))^2)))^(s/2)))/;(|z|<1∨(|z|==1∧Re(s)>1))∧n∈ℕ.

(OverHat[Φ])(z,s,a)

The Lerch classical transcendent phi function: (OverHat[Φ])(z,s,a)==(∑_(k=0)^∞)((z^k)/(((a+k))^s))/;|z|<1∨(|z|==1∧Re(s)>1).

(OverTilde[Φ])(z,s,a)

The Lerch classical regularized transcendent phi function: (OverTilde[Φ])(z,s,a)==(∑_(k=0)^∞)((z^k)/(((a+k))^s))/;(|z|<1∨|z|==1∧Re(s)>1)∧-a∉ℕ; (OverTilde[Φ])(z,s,-n)==(∑_(k=0)^(n-1))((z^k)/(((k-n))^s))+(∑_(k=n+1)^∞)((z^k)/(((k-n))^s))/;(|z|<1∨|z|==1∧Re(s)>1)∧n∈ℕ.

ϕ

The golden ratio ϕ: ϕ==(1/2) (1+(Sqrt[5]))≈1.618033…

ϕ(n)

The number of positive integers less than n (n≥0) and relatively prime to ⌊n⌋ (the Euler totient function): ϕ(n)==(∑_(k=1)^n)(Subscript[δ, gcd(n,k),1])/;n∈ℕ.

Ψ

ψ(z)

The digamma function ψ(z): ψ(z)==(∑_(k=1)^∞)((1/k)-(1/(k+z-1)))-ℽ.

(ψ^((ν)))(z)

The (ν^th) derivative of the digamma function: (ψ^((ν)))(z)==(Piecewise[{{ψ(z), ν==0}, {(((-1))^(ν+1)) ν! (∑_(k=0)^∞)(1/(((k+z))^(ν+1))), ν∈(SuperPlus[ℕ])}, {(((-ℽ (z+ν)+ν log(z)-ν ψ(-ν)) (z^(-ν-1)))/(Γ(1-ν)))+((∑_(k=1)^∞)(1/(k^2))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(1,2;2-ν;-(z/k))) (z^(1-ν)), True}}]).

Ω

{(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3])}=={(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}

The half-periods {(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3])} for Weierstrass elliptic functions corresponding to the invariants {(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])}: {(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}=={i (((((60 )/(Subscript[g, 2]))(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1/(((2 m+2 n t))^4))))^(1/4)),i t  (((((60 )/(Subscript[g, 2]))(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1/(((2 m+2 n t))^4))))^(1/4))}/;J(t)==((Subscript[g, 2]^3)/((Subscript[g, 2]^3)-27 (Subscript[g, 3]^2))).

{(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3])}=={(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),-(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))-(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}

The half-periods for Weierstrass elliptic functions corresponding to the invariants {(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])}:
{(Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[ω, 2])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])),(Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))}=={(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2]),(Subscript[ω, 3])}/;{(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 3])}=={i (((((60 )/(Subscript[g, 2]))(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1/(((2 m+2 n t))^4))))^(1/4)),i t  (((((60 )/(Subscript[g, 2]))(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)(1/(((2 m+2 n t))^4))))^(1/4))}/;J(t)==((Subscript[g, 2]^3)/((Subscript[g, 2]^3)-27(Subscript[g, 3]^2)))∧(Subscript[ω, 2])==-(Subscript[ω, 1])-(Subscript[ω, 3])

℘

℘(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The Weierstrass elliptic function ℘: ℘(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==(1/(z^2))+(∑_(Underscript[m, n=-∞, {m,n}≠{0,0}])^∞)((1/(((z-2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))-2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))^2))-(1/(((2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))+2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))^2))).

℘'(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The derivative with respect to z of the Weierstrass elliptic function P: ℘'(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==((∂℘(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])))/(∂z))==-2 (∑_(m=-∞)^∞)(∑_(n=-∞)^∞)(1/(((z-2 m (Subscript[ω, 1])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))-2 n (Subscript[ω, 3])((Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))))^3)).

(℘^(-1))(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The inverse of the Weierstrass elliptic function ℘. The value of u such that ℘(u;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==z:  (℘^(-1))(z;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==(∫_∞^z)(1/(Sqrt[4 (t^3)-(Subscript[g, 2]) t-(Subscript[g, 3])]))dt/;z∈ℝ∧Re(4 (z^3)-(Subscript[g, 2]) z-(Subscript[g, 3]))>0.

(℘^(-1))((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))

The inverse of the Weierstrass function ℘. The value of u such that ℘(u;(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==(Subscript[z, 1]) and (Subscript[z, 2])==(Sqrt[4 (Subscript[z, 1]^3)-(Subscript[g, 2]) (Subscript[z, 1])-(Subscript[g, 3])]): (℘^(-1))((Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]);(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3]))==(∫_∞^(Subscript[z, 1]))(1/(Sqrt[4 (t^3)-(Subscript[g, 2]) t-(Subscript[g, 3])]))dt/;(Subscript[z, 2])==(Sqrt[4(Subscript[z, 1]^3)-(Subscript[g, 2])(Subscript[z, 1])-(Subscript[g, 3])]).

Ш

Ш(x)

The generalized Dirac comb function Ш(x): Ш(x)==(∑_(k=-∞)^∞)δ(x-k).

Copyright