SixJSymbol

Notations

Traditional name

Traditional notation

Mathematica StandardForm notation

Primary definition

where

Specific values

Values at fixed points

One argument equal to zero

One argument equal to sum of two others

One argument less than sum of two others by unity

General characteristics

Domain and analyticity

{ ({{(Subscript[j, 1]), (Subscript[j, 2]), (Subscript[j, 3])}, {(Subscript[j, 4]), (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 6])}}) } is a six-argument function. The condition 𝒫𝒽𝓎𝓈𝒾𝒸𝒶ℓ𝒬 restricts the arguments to integers or half-integers (interpreted as quantum-mechanical spin quantum numbers) that fulfill certain inequalities. Without the condition 𝒫𝒽𝓎𝓈𝒾𝒸𝒶ℓ𝒬, { ({{(Subscript[j, 1]), (Subscript[j, 2]), (Subscript[j, 3])}, {(Subscript[j, 4]), (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 6])}}) } would be an analytic function in all six arguments.

Symmetries and periodicities

Permutation symmetry

Series representations

Generalized power series

Generating functions

Identities

Recurrence identities

Consecutive neighbors

Functional identities

Arguments changing by 1/2

Arguments changing by 1

Regge symmetries

All 144 symmetry relations

By combining the Regge symmetries with the permutation symmetries, we obtain all 144 symmetry relations for the 6j symbols (including the identity).

Summation

Infinite summation

Finite summation

Involving one 6j symbol

Involving two 6j symbols

Involving three 6j symbols

Involving four 6j symbols

Involving one 6j symbol and one 9j symbol

Involving one 6j symbol and two 9j symbols

Involving one 6j symbol and three 9j symbols

Involving two 6j symbols and one 9j symbol

Involving two 6j symbols and two 9j symbols

Involving three 6j symbols and one 9j symbol

Operations

Limit operation

Representations through more general functions

Through hypergeometric functions

Involving HypergeometricPFQRegularized

Involving HypergeometricPFQ

Through Meijer G

Classical cases for the direct function itself

Representations through equivalent functions

With related functions

Zeros

Theorems

Representation as a magic square

For a physically realizable 6j symbol { ({{(Subscript[j, 1]), (Subscript[j, 2]), (Subscript[j, 3])}, {(Subscript[j, 4]), (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 6])}}) } the following 4×4 matrix is a magic square, all rows and columns summing up to 2 ((Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])+(Subscript[j, 3])+(Subscript[j, 4])+(Subscript[j, 5])+(Subscript[j, 6])):

(({{-(Subscript[j, 3]) + (Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 1]) - (Subscript[j, 5]) + (Subscript[j, 6]), (Subscript[j, 3]) - (Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 1]) + + (Subscript[j, 5]) + (Subscript[j, 6])+2((Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 3]) + (Subscript[j, 4])) }, {(Subscript[j, 1]) - (Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 3]), (Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 4]) - (Subscript[j, 6]), (Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 3]) + 2((Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 5]) + (Subscript[j, 6])), (Subscript[j, 2]) - (Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 6])}, {-(Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 3]), (Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 6])+ 2((Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 3]) + (Subscript[j, 5])) , (Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 2]) - (Subscript[j, 3]), -(Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 6])}, {(Subscript[j, 3]) + (Subscript[j, 4]) + (Subscript[j, 5]) + 2((Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 2]) + (Subscript[j, 6])), -(Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 5]) + (Subscript[j, 6]), (Subscript[j, 3]) + (Subscript[j, 4]) - (Subscript[j, 5]), (Subscript[j, 1]) + (Subscript[j, 5]) - (Subscript[j, 6])}})).

History

E.P. Wigner (1931); G. Racah (1942).

References

L.C. Biedenharn and J.D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, 1981.

L.C. Biedenharn and J.D. Louck, The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory, Addison-Wesley, Reading, 1981.

M.E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, Dover, New York, 1995.

D.A. Varshalovich, A.N. Moskalev and V.K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific, Singapore, 1988.

Copyright