Spherical harmonics: Integral representations (formula 05.10.07.0008)

SphericalHarmonicY

$Mathematica Notation$

Polynomials

SphericalHarmonicY[n,m,theta,phi]

Integral representations

Multiple integral representations

http://functions.wolfram.com/05.10.07.0008.01

Input Form

SphericalHarmonicY[n, m, Ï‘, Ï†] == E^(I*m*Ï†)*Sqrt[((2*n + 1)/(4*Pi))*((n + m)!/(n - m)!)]* Integrate[LegendreP[n, Subscript[t, 1]], {Subscript[t, 1], 1, Subscript[t, 2]}, {Subscript[t, 2], 1, Subscript[t, 3]}, â€¦, {Subscript[t, m], 1, Cos[Ï‘]}]/;0â‰¤mâ‰¤n

Standard Form

Cell[BoxData[RowBox[List[RowBox[List[RowBox[List["SphericalHarmonicY", "[", RowBox[List["n", ",", "m", ",", "\[CurlyTheta]", ",", "\[CurlyPhi]"]], "]"]], "\[Equal]", RowBox[List[SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[List["\[ImaginaryI]", " ", "m", " ", "\[CurlyPhi]"]]], SqrtBox[RowBox[List[FractionBox[RowBox[List[RowBox[List["2", "n"]], "+", "1"]], RowBox[List["4", "\[Pi]"]]], " ", FractionBox[RowBox[List[RowBox[List["(", RowBox[List["n", "+", "m"]], ")"]], "!"]], RowBox[List[RowBox[List["(", RowBox[List["n", "-", "m"]], ")"]], "!"]]]]]], " ", SuperscriptBox[RowBox[List["Csc", "[", "\[CurlyTheta]", "]"]], "m"], " ", UnderscriptBox[RowBox[List[SubsuperscriptBox["\[Integral]", "1", RowBox[List["Cos", "[", "\[CurlyTheta]", "]"]]], RowBox[List["\[Ellipsis]", RowBox[List[SubsuperscriptBox["\[Integral]", "1", SubscriptBox["t", "3"]], SubsuperscriptBox["\[Integral]", "1", SubscriptBox["t", "2"]]]]]]]], UnderscriptBox["\[UnderBrace]", "m"]], RowBox[List["LegendreP", "[", RowBox[List["n", ",", SubscriptBox["t", "1"]]], "]"]], " ", RowBox[List["\[DifferentialD]", SubscriptBox["t", "1"]]], RowBox[List["\[DifferentialD]", SubscriptBox["t", "2"]]], "\[Ellipsis]", " ", RowBox[List["\[DifferentialD]", SubscriptBox["t", "m"]]]]]]], "/;", RowBox[List["0", "\[LessEqual]", "m", "\[LessEqual]", "n"]]]]]]

MathML Form

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Date Added to functions.wolfram.com (modification date)

2001-10-29

SphericalHarmonicY[lambda,mu,theta,phi]